Тема 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Рекомендации по составлению и доработке конспекта лекций.

Конспект по данной теме должен начинаться с анализа задач, приводящих к понятию производной функции, выяснения геометрического и физического смысла производной. Затем следует дать определение производной и дифференциала. Надо показать, как выводятся правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Детально показать на примерах нахождение производной сложной функции. В конспекте должна быть таблица производных основных элементарных функций. Необходимо описать процедуру нахождения производных от неявных функций и производных высших порядков, сформулировать теоремы Ферма, арк, Лагранжа. Продемонстрировать правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей. Показать, как устанавливаются точки экстремума, определяется направление выпуклости и точки перегиба функции. Следует записать по пунктам общую схему исследования функции и показать применение схемы на конкретном примере. Вывести уравнение касательной и нормали к графику функции. В заключение целесообразно перечислить различные приложения производной в экономических расчетах.

Ключевые слова: производная функции и дифференциал, геометрический и физический смысл производной и дифференциала, правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций, производная сложной и обратной функций, поизводные основных элементарных функций, производные высших порядков, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши, правило Лопиталя, точки экстремума, выпуклость и точки перегиба функции, асимптота, схема исследования функций, уравнение касательной и нормали к графику функции.

Задание студентам для самостоятельной работы:

1. Изучить рассматриваемый математический аппарат.

2. Доработать материалы лекций.

3. Подготовиться к семинару.

4. Подготовиться к практическому занятию.

5. Подготовиться к работе на лекции по теме 8. Выполнить предварительную проработку вопросов темы и быть готовым к обсуждению этих вопросов в ходе лекции.

6. Решить задачи, предложенные на предыдущем семинаре для самостоятельной проработки.

Тема 9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ

Рекомендации по составлению и доработке конспекта лекций.

В конспекте обязательно должны быть раскрыты понятия первообразной функции и неопределенного интеграла, перечислены свойства неопределенного интеграла, выписана таблица интегралов от основных элементарных функций. Должны быть перечислены с пояснениями основные методы интегрирования и более детально рассмотрены приемы интегрирования рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических выражений. Необходимо раскрыть понятие определенного интеграла и дать его геометрический смысл и экономическую трактовку, как объем продукции при заданной функции производительности. Сформулировать свойства определенного интеграла. Вывести формулу Ньютона-Лейбница. Описать процедуру замены переменной в определенном интеграле и продемонстрировать ее на примерах. В конспекте должно быть представлено численное интегрирование и рассмотрены соответствующие формулы типа формул трапеций, средних, Симпсона. Следует остановиться на вычислении несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций, при этом обратить внимание на особенность применения формулы Ньютона-Лейбница в случае наличия особых точек на конечном отрезке интегрирования. Привести примеры различных приложений определенного интеграла.

Ключевые слова: первообразная, неопределенный интеграл, интегрирование рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических выражений, определенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница, замена переменной в интеграле, численное интегрирование, несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования, несобственные интегралы от неограниченных функций, признаки сходимости несобственных интегралов, геометрические приложения определенного интеграла

Задание студентам для самостоятельной работы:

1. Изучить рассматриваемый математический аппарат.

2. Доработать материалы лекций.

3. Подготовиться к семинару.

4. Подготовиться к работе на лекции по теме 9. Выполнить предварительную проработку вопросов темы и быть готовым к обсуждению этих вопросов в ходе лекции.

5. Решить задачи, предложенные на предыдущем семинаре для самостоятельной проработки.

Тема 10. РЯДЫ

Рекомендации по составлению и доработке конспекта лекций.

Конспектирование материала темы следует начать с понятия числового ряда, особо отметив, что речь идет о сумме бесконечного числа слагаемых со своими особыми свойствами. Надо сформулировать необходимый признак сходимости ряда в сопоставлении с понятием достаточного признака, продемонстрировав эти понятия на конкретном примере. Описать признаки сходимости рядов с неотрицательными членами, ввести понятия абсолютной и условной сходимости знакопеременных рядов с соответствующими примерами и раскрыть признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда. Рассмотреть функциональный ряд и представить свойства равномерно сходящихся рядов. Степенные ряды представить как частный случай функциональных рядов, описав их особые свойства. Сформулировать теорему Абеля и разъяснить ее смысл и применение. Представить ряды Тейлора, Маклорена и Фурье и описать их использование в практике вычислений.

Ключевые слова: числовой, функциональный, степенной ряд, необходимый признак сходимости ряда, признаки сходимости рядов Д’ Аламбера, Коши, интегральный признак, абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов, признак сходимости Лейбница для знакочередующегося ряда, равномерно сходящиеся ряды, теорема Абеля, радиус сходимости степенного ряда, ряд Тейлора, ряд Маклорена, ряд Фурье.

Задание студентам для самостоятельной работы:

1. Изучить рассматриваемый математический аппарат.

2. Доработать материалы лекций.

3. Подготовиться к семинару.

4. Подготовиться к работе на лекции по теме 10. Выполнить предварительную проработку вопросов темы и быть готовым к обсуждению этих вопросов в ходе лекции.

5. Решить задачи, предложенные на предыдущем семинаре для самостоятельной проработки.