Можно доказать, что предел суммы, стоящий в правой части равенства равен интегралу

Тогда - двойной интеграл Фурье.

Окончательно получаем:

- представление функции f(x) интегралом Фурье.

Двойной интеграл Фурье для функции f(x) можно представить в комплексной форме:

Преобразование Фурье.

Определение. Если f(x) – любая абсолютно интегрируемая на всей числовой оси функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на каждом отрезке, то функция

называется преобразованием Фурье функции f(x).

Функция F(u) называется также спектральной характеристикой функции f(x).

Если f(x) – функция, представимая интегралом Фурье, то можно записать:

Это равенство называется обратным преобразованием Фурье

Интегралы и называются соответственно косинус - преобразование Фурье и синус – преобразование Фурье.

Косинус – преобразование Фурье будет преобразованием Фурье для четных функций, синус – преобразование – для нечетных.

Преобразование Фурье применяется в функциональном анализе, гармоническом анализе, операционном исчислении, теории линейных систем и др.

Содержание:

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основные определения.

Свойства общего решения.

Теорема Коши.

Интегральные кривые.

Особое решение.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнения вида у’ = f(х).

Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные уравнения.

Уравнения, приводящиеся к однородным.

Линейные уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Метод Бернулли.

Метод Лагранжа.

Уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Условие тотальности.

Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’).

Уравнения Лагранжа и Клеро.

Геометрическая интерпретация решений дифференциального

уравнения первого порядка.

Поле направлений.

Изоклины.

Численные методы решения дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

Ломаная Эйлера.

Уточненный метод Эйлера.

Метод Рунге – Кутта.

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x).

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее

производных до порядка n-1 включительно.

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

с произвольными коэффициентами.

Структура общего решения.

Фундаментальна система решений.

Определитель Вронского.

Общее решение линейного однородного дифференциального

уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

произвольными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных

уравнений.

Нормальные системы линейных однородных

дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Элементы теории устойчивости.

Устойчивость по Ляпунову.

Точка покоя.

Теорема Ляпунова.

Классификация точек покоя.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных.

Линейные однородные дифференциальные уравнения в

частных производных первого порядка.

Классификация основных типов уравнений математической физики.

Уравнение колебаний струны.

Граничные, начальные и краевые условия.

Решение задачи Коши методом разделения переменных. (Метод Фурье).

Решение задачи Коши методом Даламбера.

Уравнение теплопроводности.

Уравнение Лапласа.

Задача Дирихле.

Решение задачи Дирихле для круга.

Ряды.

Основные определения.

Свойства рядов.

Критерий Коши.

Ряды с неотрицательными членами.

Признак сравнения.

Признак Даламбера.

Предельный признак Даламбера.

Признак Коши.

Интегральный признак Коши.

Знакопеременные ряды.

Знакочередующиеся ряды.

Признак Лейбница.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Признак Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности.

Область сходимости.

Функциональные ряды.

Критерий Коши равномерной сходимости.

Признак Вейерштрасса.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Степенные ряды.

Теоремы Абеля.

Радиус сходимости.

Действия со степенными рядами.

Разложение функций в степенные ряды.

Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Ряды Фурье.

Тригонометрический ряд.

Коэффициенты Фурье.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Ряд Фурье для функций любого периода.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Интеграл Фурье.

Преобразование Фурье.