Геометрия лобачевского
Перейдем к анализу другого открытия — открытия неевклидовой геометрии. Попытаемся показать, что и здесь речь шла о фундаментальной проблеме. Рассматривая этот пример, мы выясним ряд других важных моментов истолкования фундаментальных открытий.
Создание неевклидовой геометрии обычно представляется в виде решения известной проблемы пятого постулата геометрии Евклида.
Эта проблема заключалась в следующем.
Основу всей геометрии, как это следовало из системы Евклида, представляли пять следующих постулатов:
1) через две точки можно провести прямую, и притом только одну;
2) любой отрезок может быть продолжен в любые стороны до бесконечности;
3) из любой точки как из центра можно провести окружность любого радиуса;
4) все прямые углы равны;
5) две прямые, пересеченные третьей, пересекутся с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов меньше 2d.
Уже во времена Евклида стало ясно, что пятый постулат слишком сложен по сравнению с другими исходными положениями его геометрии. Другие положения казались очевидными. Именно из-за их очевидности они рассматривались как постулаты, т.е. как то, что принимается без доказательств.
Вместе с тем еще Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника, т.е. положение, значительно более простое, чем пятый постулат. Отсюда ясно то, почему к этому постулату всегда относились с подозрением и пытались представить его теоремой. И у самого Евклида геометрия строилась так, что сначала доказывались те положения, которые не опираются на пятый постулат, а потом уже этот постулат использовался для развертывания содержания геометрии.
Интересно то, что пятый постулат геометрии Евклида стремились доказать как теорему, сохраняя при этом убежденность в
(260)
его истинности, буквально все крупные математики, вплоть до Н.И. Лобачевского, Ф. Гаусса и Я. Больяи, которые в конце концов и решили проблему. Их решение складывается из следующих моментов:
— пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой;
— можно построить новую геометрию, принимая все евклидовы постулаты, кроме пятого, который заменяется его отрицанием, т.е. например, утверждением, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной;
В результате такой замены и была построена неевклидова геометрия.
Поставим теперь следующие вопросы.
— Можно ли считать, что только стремление доказать пятый постулат привело к созданию неевклидовых геометрий?
— Почему в течение двух тысячелетий ни у кого не возникало даже мысли о возможности построения неевклидовой геометрии?
Чтобы ответить на эти вопросы, обратимся к истории науки.
До Н. И. Лобачевского, Ф. Гаусса, Я. Больяи на евклидову геометрию смотрели как на идеал научного знания.
Этому идеалу поклонялись буквально все мыслители прошлого, считавшие, что геометрическое знание в изложении Евклида является совершенным. Оно представлялось образцом организации и доказательности знания.
У И.Канта, например, идея единственности геометрии была органической частью его философской системы. Он считал, что евклидово восприятие действительности является априорным. Оно есть свойство нашего сознания, и потому мы не можем воспринимать действительность иначе.
Вопрос о единственности геометрии был не просто математическим вопросом.
Он носил мировоззренческий характер, был включен в культуру.
(261)
Именно по геометрии судили о возможностях математики, об особенностях ее объектов, о стиле мышления математиков и даже о возможностях человека иметь точное, доказательное знание вообще.
Откуда же тогда возникла сама идея возможности различных геометрий?
Почему Н.И.Лобачевский и другие ученые смогли прийти к решению проблемы пятого постулата?
Обратим внимание на то обстоятельство, что время создания неевклидовых геометрий было кризисным с точки зрения решения проблемы пятого постулата Евклида. Хотя математики занимались этой проблемой в течение двух тысячелетий, у них при этом не возникало никаких стрессовых ситуаций по поводу того, что она так долго не решается. Они думали, видимо, так:
— геометрия Евклида — это великолепно построенное здание;
— правда, в ней имеется некоторая неясность, связанная с пятым постулатом, однако в конце концов, она будет устранена.
Проходили, однако, десятки, сотни, тысячи лет, а неясность не устранялась, но это никого особенно не волновало. По-видимому, логика здесь могла быть такая: в конце концов, истина одна, а ложных путей сколько угодно. Пока не удается найти правильное решение проблемы, но оно, несомненно, будет найдено. Утверждение, содержащееся в пятом постулате будет доказано и станет одной из теорем геометрии.
Но что же случилось в начале XIX в.?
Отношение к проблеме доказательства пятого постулата существенно меняется. Мы видим целый ряд прямых заявлений по поводу весьма неблагополучного положения в математике в связи с тем, что никак не удается доказать столь злополучный постулат.
Наиболее интересным и ярким свидетельством этого является письмо Ф.Больяи его сыну Я.Больяи, который стал одним из создателей неевклидовой геометрии.
«Молю тебя, — писал отец, — не делай только и ты попыток одолеть теорию параллельных линий; ты затратишь на
(262)
это все время, а предложения этого вы не докажете все вместе. Не пытайся одолеть теорию параллельных линий ни тем способом, который ты сообщаешь мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути до конца; я не встретил ни одной идеи, которой бы я не разрабатывал. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни. Этот беспросветный мрак может потопить тысячи ньютоновских башен. Он никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии».
Почему такая реакция возникает только в начале XIX в.?
Прежде всего потому, что в это время проблема пятого постулата перестала быть частной, которую можно и не решать. В глазах Ф.Больяи она предстала как целый веер фундаментальных вопросов.
— Как вообще должна быть построена математика?
— Может ли она быть построена на действительно прочных основаниях?
— Является ли она достоверным знанием?
— Является ли она вообще логически прочным знанием?
Такая постановка вопроса была обусловлена не только историей развития исследований, связанных с доказательством пятого постулата. Она определялась развитием математики в целом, в том числе ее использованием в самых различных сферах культуры.
Вплоть до XVII в. математика находилась в зачаточном состоянии. Наиболее разработанной была геометрия, были известны начала алгебры и тригонометрии. Но затем, начиная с XVII в., математика стала бурно развиваться и к началу XIX в. она представляла довольно сложную и развитую систему знаний.
— Прежде всего под влиянием потребностей механики были созданы дифференциальное и интегральное исчисления.
— Значительное развитие получила алгебра. В математику органично вошло понятие функции (активно использо-
(263)
валось большое количество различных функций во многих разделах физики).
— Сложилась в достаточно целостную систему теория вероятности.
— Сформировалась теория рядов.
Таким образом, математическое знание выросло не только количественно, но и качественно. Вместе с тем появилось большое число понятий, которые математики не умели истолковывать.
— Например, алгебра несла с собой определенное представление о числе. Положительные, отрицательные и мнимые величины были в равной мере ее объектами. Но что такое отрицательные или мнимые числа, этого никто не знал вплоть до начала XIX в.
— Не было ясного ответа и на более общий вопрос — что вообще есть число?
— А что такое бесконечно малые величины?
— Как можно обосновать операции дифференцирования, интегрирования, суммирования рядов?
— Что представляет собой вероятность?
В начале XIX в. никто не мог ответить на эти вопросы.
Короче говоря, в математике к началу XIX в. сложилась в целом сложная ситуация.
— С одной стороны, эта область науки интенсивно развивалась и находила ценные приложения,
— с другой — она покоилась на очень неясных основаниях.
В такой ситуации по-другому была воспринята и проблема пятого постулата геометрии Евклида.
Трудности истолкования новых понятий можно было понять так: то, что неясно сегодня, станет ясным завтра, когда соответствующая область исследований получит достаточное развитие, когда будет сосредоточено достаточно интеллектуальных усилий для решения проблемы.
Проблема пятого постулата существует, однако, уже два тысячелетия. И до сих пор у нее нет решения.
Может быть, эта проблема устанавливает некий эталон для истолкования современного состояния математики и уяснения того, что есть математика вообще?
(264)
Может быть, тогда математика — это вовсе и не точное знание?
В свете таких вопросов проблема пятого постулата перестала быть частной проблемой геометрии.
Она превратилась в фундаментальную проблему математики.
Этот анализ дает нам еще одно подтверждение той идеи, что фундаментальные открытия суть решения фундаментальных проблем.
Он показывает также, что фундаментальными проблемы становятся в рамках культуры, иначе говоря, фундаментальность исторически обусловлена.
Но в рамках культуры не только формируются фундаментальные проблемы, в них, как правило, подготавливаются и многие компоненты их решения. Отсюда становится ясным, почему такие проблемы решаются именно в данный момент, а не в какое-либо иное время.
Рассмотрим опять же в этой связи процесс создания неевклидовой геометрии. Обратим внимание на следующие интересные фрагменты истории исследований в этой области.
Доказательства пятого постулата Евклида проводились на протяжении двух тысячелетий, но при этом они считались задачей второго рода, т.е. постулат представлялся теоремой евклидовой геометрии. Это была задача с четко фиксируемым фундаментом для ее разрешения.
Однако во второй половине XVIII в. появляются исследования, в которых высказывается мысль о неразрешимости данной проблемы. В 1762 г. Клюгель, публикуя обзор исследований этой проблемы, приходит к выводу, что Евклид был, по-видимому, прав, считая пятый постулат именно постулатом.
Независимо от того, как относился к своему выводу Клюгель, его вывод был очень серьезным, так как провоцировал следующий вопрос: если пятый постулат геометрии Евклида действительно является постулатом, а не теоремой, то что же такое постулат? Ведь постулатом считалось положение очевидное, а потому не требующее доказательства.
Но подобный вопрос уже не являлся вопросом второго рода.
(265)
Он представлял уже метавопрос, т.е. выводил мысль на философско-методологический уровень.
Итак, проблема пятого постулата геометрии Евклида начинала порождать совсем особый род размышлений.
Перевод этой проблемы на метауровень придал ей мировоззренческое звучание.
Она перестала быть проблемой второго рода.
Другой исторический момент. Весьма любопытными представляются исследования, проводившиеся во второй половине XVIII в. И.Ламбертом и Дж.Саккери. Об этих исследованиях знал И.Кант, который не случайно говорил о гипотетическом статусе геометрических положений. Если вещи-в-себе характеризуются геометрически, то почему бы им, ставил вопрос И.Кант, не подчиняться какой-либо иной геометрии, отличной от евклидовой?
Ход рассуждений И.Канта был навеян идеями абстрактной возможности неевклидовых геометрий, которые высказывались И.Ламбертом и Дж.Саккери.
Дж.Саккери, пытаясь доказать пятый постулат геометрии Евклида в качестве теоремы, т.е. смотря на него как на проблему ординарную, использовал способ доказательства, называемый «доказательством от противного».
Ход рассуждений Дж.Саккери был, вероятно, следующим. Если мы примем вместо пятого постулата утверждение ему противоположное, соединим его со всеми другими утверждениями евклидовой геометрии и, выводя следствия из такой системы исходных положений, придем к противоречию, то тем самым мы докажем истинность именно пятого постулата.
Схема этого рассуждения очень проста. Может быть либо А, либо не-А, и, если все остальные постулаты истинны и мы допускаем не-А, а получаем ложь, значит, истинно именно А.
Используя этот стандартный прием доказательства, Дж.Саккери стал развертывать систему следствий из своих предположений, стремясь обнаружить их противоречивость. Таким образом он вывел около 40 теорем неевклидовой геометрии, но противоречий не обнаружил.
Как же он оценил складывающуюся ситуацию? Считая пятый постулат геометрии Евклида теоремой (т.е.задачей второго рода), он просто заключил, что в его случае метод «доказательства от противного» не работает. Итак, смотря на эту проблему как на проблему второго рода, он, имея в руках новую геометрию, не смог правильно истолковать ситуацию.
(266)
Отсюда следуют два вывода.
— Во-первых, в определенном смысле новая геометрия появилась в культуре уже до того, как была открыта неевклидова геометрия.
— Во-вторых, именно верная оценка проблемы пятого постулата, т.е. трактовка ее как проблемы первого, а не второго рода, позволила Н.И.Лобачевскому, Ф.Гауссу и Я.Больяи прийти к решению проблемы и создать неевклидову геометрию. Надо было понять саму возможность создания таких геометрий.
Дж.Саккери допускал такую возможность лишь как логическую, сделав конструктивный шаг в решении проблемы евклидовского постулата в традиционном стиле. Но он вовсе не рассматривал ее всерьез считая, что неевклидовы геометрии невозможны, хотя и логически допустимы.
Таким образом, история не только подготавливает проблему, но и во многом определяет направление и возможность ее решения.
Рассмотрим в таком ракурсе коперниканскую революцию.
Как хорошо известно, вовсе не Н.Коперник открыл гелиоцентрическую систему. Ее создал Аристарх еще в античности. Может быть, Н.Коперник не знал об этом? Да ничего подобного! Он знал и ссылался на Аристарха.
Но тогда почему же говорят о коперниканской?
Дело в том, что Н.Коперник перенес уже известную модель в совершенно новую культурную среду, поняв, что с ее помощью можно решить целый ряд проблем. В этом как раз и заключалась суть его революции, а вовсе не в создании гелиоцентрической системы.
ОТКРЫТИЕ Г. МЕНДЕЛЯ
Рассмотрим теперь вопрос о культурной подготовке открытий на примере открытия Г. Менделя.
(267)
— В этом открытии присутствуют не только так называемые законы Менделя, представляющие эмпирические закономерности, о которых обычно говорят, но и система очень важных теоретических положений, которая, по сути дела, и определяет значимость открытия Г.Менделя.
— Более того, эмпирические закономерности, установление которых приписывается Г.Менделю, вовсе и не были им установлены. Они были известны еще до него и изучались О.Сажрэ, Т.Найтом, Ш.Ноденом. Г.Мендель, собственно, только уточнил их.
— Существенно и то, что его открытие имело методологическое значение. Для биологии оно давало не только новую теоретическую модель, но и систему новых методологических принципов, с помощью которых можно было изучать очень сложные явления жизни.
Г. Мендель предположил наличие некоторых элементарных носителей наследственности, которые могут свободно комбинироваться при слиянии клеток в процессе оплодотворения. Именно это комбинирование зачатков наследственности, которое осуществляется на клеточном уровне, дает различные типы наследственных структур.
Такая теоретическая модель включает в себя ряд очень важных идей.
— Во-первых — это выделение элементарных носителей на уровне клетки.
Обосновывая такое выделение, Г.Мендель опирался, очевидно, на теорию клеточного строения живого вещества. Она была очень важной для него. Г.Мендель познакомился с основными ее положениями в курсе лекций Ф.Унгера в Венском университете. Унгер был одним из новаторов использования физико-химических методов в исследовании живого. При этом он считал, что эти исследования должны доходить до уровня клетки. — Во-вторых, Г.Мендель считал, что законы, управляющие носителями наследственности, столь же определенны, как и законы, которым подчиняются физические явления.
Очевидно, здесь Г.Мендель исходил из общей мировоззренческой установки, которая глубоко укоренилась в культуре того времени, т.е. установки о закономерности природы, которая распространялась и на явления наследственности.
(268)
— В-третьих, Г.Мендель реализовывал в своих исследованиях общий идеал физического познания мира, согласно которому следует выявить элементарный объект, найти законы управляющие его поведением и потом, опираясь на эти знания конструировать более сложные процессы, описывая и объясняя их особенности.
— В-четвертых, Г.Мендель предположил, что законы, управляющие его элементарными носителями, суть вероятностные законы. Для 1865 г., в котором он опубликовал свое открытие, это была очень новая идея. Ведь именно в то время вероятностные представления начали вводиться в физику. Чуть раньше — в 30-х годах — вероятностное описание явлений действительности вошло в культуру, благодаря работам Г.Кетле по социальной статистике. Г.Мендель заимствовал идеи вероятностного описания именно из социальной статистики.
Кроме того, Г.Мендель предполагал, что его теория позволит объяснить наследственность лишь в том случае, если она будет подтверждена опытом. Это было очень важно, тем более что в науке того времени явления жизни, как и многие другие явления, объяснялись спекулятивным образом.
Но как могло быть произведено сопоставление этой теории с опытом в биологии?
Для Г. Менделя здесь возникла новая проблема. Оно должно было осуществляться на базе статистической обработки элементарных данных. Именно неумение обрабатывать статистический материал, по мнению Г.Менделя, не позволило, например, Ш.Нодену установить правильные количественные соотношения в расщеплении признаков.
Наконец, надо отметить, что менделевский экспериментальный подход в биологии был спланирован на очень длинное время. Сам Г.Мендель проводил эксперименты около десяти лет, реализуя заранее намеченную программу исследований.
Успех его экспериментов был связан прежде всего с выбором материала. Менделевские законы наследственности очень просты, но проявляются фактически на небольшом количестве биологических объектов. Одним из таких объектов является горох, для которого к тому же надо было выбрать чистые линии. Этим отбором Г.Мендель занимался два года. Он четко представлял себе, следуя физическому идеалу, что объект, который
(269)
он выбирает, должен быть простым, полностью контролируемым во всех своих изменениях. Только тогда и можно установить точные законы. Конечно, Г.Мендель не представлял наверняка всех деталей, которые он получит в будущем.
Но несомненно то, что все его исследования были четко спланированы и опирались на систему теоретических взглядов о закономерностях наследования.
Он принципиально не мог сделать и одного шага по этому пути, если бы у него не было заранее достаточно разработанных теоретических идей.
Таким образом, открытие Г.Менделя включает в себя не просто обнаружение совокупности эмпирических закономерностей, которые были им не столько открыты, сколько уточнены.
Главное в том, что Г.Мендель впервые построил теоретическую модель явлений наследственности, которая опиралась на выделение ее элементарных носителей, подчиняющихся вероятностным законам.
Особого внимания заслуживает сама система идей методологического характера, связанных с оценкой роли в науке статистики, вероятности и планирования эмпирических исследований.
Открытие Г.Менделя не было случайным.
Оно, как и другие фундаментальные открытия, обусловлено особенностями культуры его времени, как европейской, так и национальной.
Но почему это выдающееся открытие было сделано именно Г.Менделем — монахом и почему именно в Моравии, по существу периферии Австрийской империи?
Попробуем ответить на эти вопросы.
Г. Мендель был монахом августинского монастыря в Брно, который сосредоточил в своих стенах множество мыслящих и образованных людей. Так, настоятель монастыря Ф.Ц.Напп счи-
(270)
тается выдающимся деятелем моравской культуры. Он активно содействовал развитию образования в своем крае, интересовался естествознанием и занимался, в частности, проблемами селекции.
Среди монахов этого монастыря был Т.Братранек, ставший впоследствии ректором Краковского университета. Т.Братранека привлекали натурфилософские представления Ф.Гете, и он писал работы, в которых сопоставлял эволюционные идеи Ч.Дарвина и великого немецкого поэта.
Еще один монах этого монастыря — М.Клацель — страстно увлекался учением Г. Гегеля о развитии. Он интересовался закономерностями образования растительных гибридов, проводил опыты с горохом. Именно от него Г.Мендель унаследовал участок для своих опытов. За свои либеральные взгляды М.Клацель был изгнан из монастыря и уехал в Америку.
В монастыре проживал и П.Кржижковский, реформатор церковной музыки, впоследствии ставший учителем известного чешского композитора Л.Яначека.
Г. Мендель с детства проявлял большие способности в изучении наук. Стремление получить хорошее образование и избавиться от тяжелых материальных забот привело его в 1843 г. в монастырь. Здесь, изучая богословие, он вместе с тем проявил интерес к земледелию, садоводству, виноградарству. Стремясь получить систематические знания в этой области, он слушал лекции по этим предметам в философском училище в городе Брно. Еще совсем молодым человеком Г. Мендель преподавал латинский, греческий и немецкий языки, а также курс математики и геометрии в гимназии города Зноймо. С 1851 по 1853 г. Г.Мендель изучал естественные науки в Венском университете, а с 1854 г., в течение 14 лет, преподавал в училище физику и природоведение.
В своих письмах он часто называл себя физиком, проявляя большую привязанность к этой науке. До конца своей жизни он сохранял интерес к различным физическим явлениям. Но в особенности его занимали проблемы метеорологии. Когда его избрали аббатом монастыря, у него уже не было времени проводить свои биологические опыты, к тому же у него ухудшилось зрение. Но он до самой смерти занимался метеорологическими исследованиями и при этом особенно увлекался их статистической обработкой.
Уже эти факты из жизни Г.Менделя дают нам представление о том, почему Г.Мендель — монах смог сделать научное от-
(271)
крытие. Но почему это открытие произошло именно в Моравии, а не, скажем, в Англии или Франции, которые являлись в то время несомненными лидерами в развитии науки?
Во время жизни Г. Менделя Моравия была частью Австрийской империи. Ее коренное население подвергалось сильным притеснениям, а габсбургские монархи не были заинтересованы в развитии моравской культуры. Но Моравия была чрезвычайно благоприятной страной для развития сельского хозяйства. Поэтому в 70-е годы XVIII в. габсбургская правительница Мария Терезия, проводя экономические реформы, повелела организовать в Моравии сельскохозяйственные общества. Чтобы больше собирать продукции с земли, всем, кто ведет хозяйство, предписывалось даже сдавать экзамены по основам сельскохозяйственных наук.
В результате в Моравии стали создаваться сельскохозяйственные школы, началось развитие сельскохозяйственных наук. В Моравии сложилась весьма значительная концентрация обществ сельскохозяйственного профиля. Их было, пожалуй, больше, чем в Англии. Именно в Моравии впервые заговорили о селекционной науке, которая внедрялась и в практику. Уже в 20-е годы XIX в. в Моравии местные селекционеры активно используют метод гибридизации для выведения новых пород животных и особенно новых сортов растений. Проблемы селекционной науки колоссально обострились как раз на рубеже XVIII и XIX вв., поскольку бурный рост промышленности и городского населения требовал интенсификации сельскохозяйственного производства.
В этой обстановке раскрытие законов наследственности имело большое практическое значение. Проблема эта остро стояла и в теоретической биологии. Ученые XIX в. довольно много знали и о морфологии, и о физиологии живого. Благодаря теории естественного отбора Ч. Дарвина удалось понять сущность процесса эволюции жизни на Земле. Однако законы наследственности оставались непознанными.
Иными словами, создалась явно выраженная проблемная ситуация, фундаментального характера.
Замечательные и даже во многом удивительные результаты, полученные Г.Менделем также коренились в культуре того времени.
В этом смысле особенно показательна идея вероятностного характера законов наследственности. Она была заимствована Г.Менделем из социальной статистики, которая, благодаря прежде
(272)
всего работам А.Кетле, привлекала в то время к себе всеобщее внимание. Расширяющаяся в то время практика статистической обработки эмпирического материала как в социальной статистике, так и в физике, несомненно, способствовала ее распространению на область явлений жизни.
Вместе с тем стремление выделить элементарные единицы наследования и на основании их взаимодействия объяснить особенности процесса наследования в целом представляло явное следование физической методологии познания.
Этот идеал был четко сформулирован уже в начале XIX в. И он активно проникал во все науки. Кстати говоря, именно следуя ему, в биологии стали все шире применять физико-химические методы. В психологии И.Гербарт проводил исследования, прямо руководствуясь этим идеалом. На него ориентировался О.Конт обосновывая необходимость создания социологии. По этому же пути следовал Г.Мендель в изучении явлений наследственности.
Идея построить научную теорию наследования на уровне клетки могла возникнуть только в середине XIX в.
Наконец, если говорить о таких деталях, как выбор самого объекта исследования — гороха — то свойства расщепления, доминантности этого объекта обнаружили в конце XVIII — начале XIX вв. Имеется целый ряд работ, в которых описывались эти свойства, которые и привлекли внимание Менделя.
Одним словом, здесь, как и в других примерах, мы видим, что фундаментальные открытия являются решением фундаментальной проблемы.
Они всегда исторически подготовлены.
Подготовленной оказывается не только сама проблема, но и компоненты ее решения.
Но это не должно создавать иллюзию, что для такого рода открытий вовсе и не нужны гении. Осознание фундаментальной проблемы, нахождение реальных путей ее решения требует огромного интеллекта, широкой образованности, целеустремленности, которые и позволяют ученому лучше других чувствовать дыхание времени.
(273)