Тема 2.3. Дифференциал функции

Рассмотрим две функции: y₁ = f₁(x) и y₂ = f₂(x), которые имеют производные f₁¢ (x) и f₂¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение Dx. Тогда функции получат соответственно приращения Dy₁ = f₁(x + Dx) - f₁(x) и Dy₂ = f₂(x + Dx) - f₂(x). Из графиков, изображенных на рисунке 3, видно, что в обоих случаях приращения Dy₁ и Dy₂ можно представить в виде сумм двух слагаемых:

Рис.2.3.1

Dy₁ = (C₁ - A₁) + (B₁ - C₁); Dy₂ = (C₂ - A₂) + (B₂ - C₂) (2.4.1)

Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (2.4.1) легко вычисляются из сходных формул: C₁ – A₁ = tga₁ Dx = f₁¢ (x)Dx; C₂ – A₂ = tga₂ Dx = f₂¢ (x)Dx.

Величина f¢ (x) Dx называется главной частью приращения функции y = f(x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента Dx (можно сказать – пропор­циональна приращению Dx). Это означает, что если приращение аргумента Dx уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

Формулы (2.4.1) можно переписать в виде:

Dy₁ = f₁¢ Dx + r₁; Dy₂ = f₂¢ Dx + r₂. (2.4.2)

Здесь r₁ = B₁ – C₁; r₂= B₂– C₂.

Величины r₁ и r₂ в формулах (2.4.2) при уменьшении Dxв k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 2.3.1 и 2.3.2, говорят, что r₁

Рис.2.3.2

и r₂ стремятся к нулю быстрее, чем Dx .

Назовем функцию b(z)бесконечно малой в точке z = z₀, если .

Пусть функции b(z)и g (z)являются бесконечно малыми в точке z = z₀.. Функция b(z)называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g(z), если .

Величины r₁ и r₂ в формулах (2.4.2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx = 0. Можно показать, что . Это означает, что функцииr₁(Dx) и r₂(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чемDx,в точкеDx = 0.

Таким образом, приращение функции y = f(x)в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

Dy = f¢(x) Dx +b(Dx),

где b(Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx= 0.

Главная, линейная относительно Dx,часть приращения функции y = f(x), равная f¢ (x) Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

dy = f¢ (x) Dx. (2.4.3)

Если сюда подставить функцию f(x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (2.4.3) примет вид: dx = Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (2.4.3) можно переписать так

dy = f¢ (x) dx.

Отсюда следует, что

,

то есть производная функцииf(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C - постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x), d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x). Если при этом g(x) ¹0, то

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f¢ (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) -сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F¢(t)dt = f¢ (x)x¢ (t)dt. Однако по определению дифференциала x¢ (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x)рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.