Дифференциал функции

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 3.6. Дифференциал функции.

План:

1. Дифференциал функции.

2. Геометрический смысл дифференциала.

3. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

4. Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал функции

Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции в точке , отвечающее приращению аргумента , можно представить в виде

, (1)

где А – функция, зависящая только от и не зависящая от , – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с .

Замечание: Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.

Опр.: Выражение в разложении (1) дифференцируемой в точке функции, являющееся главной линейной относительно частью приращения функции , называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается

или .

При дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Пример:Найти дифференциал функции при .

Решение: Так как , то

= Отсюда .

Окончательно находим

.

Опр.: Функция называется дифференцируемой на некотором интервале (а, b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Тогда в разложении (1) коэффициент А будет функцией х, а дифференциал будет функцией х и , т.е. .

Теорема.Для того чтобы функция была дифференцируема в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная .