С постоянными коэффициентами

Иногда представляется возможным представить вид частного решения в зависимости от вида правой части неоднородного уравнения.

Различают следующие случаи:

I. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

где - многочлен степени m. Тогда частное решение ищется в виде:

.

Здесь - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Решим соответствующее однородное уравнение:

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.

Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части, рассмотренным выше:

Частное решение ищем в виде: , где

т.е.

Теперь определим неизвестные коэффициенты А и В.

Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Итого, частное решение:

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

II. Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Здесь и – многочлены степени и соответственно. Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

.

где число r показывает сколько раз число является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а и – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней и .

Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

Таким образом, если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где и – частные решения вспомогательных уравнений

и .

Пример. Решить уравнение

Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций .

Составим и решим характеристическое уравнение:

1. Для функции решение ищем в виде .

Получаем: т.е.

Таким образом:

2. Для функции решение ищем в виде: .

Анализируя функцию , получаем:

Таким образом,

Таким образом: т.е. искомое частное решение имеет вид:

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

Пример. Решить уравнение

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Находим частное решение неоднородного уравнения в виде:

;

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов:

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения: .

Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение:

Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения в виде: