Элементы векторной алгебры
Векторы и линейные операции над ними
В геометрии вектором называют направленный отрезок 
с начальной А и конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка 
и 
, имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор 
, и пишут 
.
Длиной (или модулем) 
вектора 
называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Если вектор 
изображается направленным отрезком 
, то вектор, изображаемый направленным отрезком 
, называется вектором, противоположным вектору 
и обозначается - 
.
Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «-», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.
Произведением вектора 
на число 
называется вектор 
, имеющий длину 
, направление которого совпадает с направлением вектора 
, если 
, и противоположно ему, если 
.
Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.
Если в прямоугольной системе координат точки А и В имеют координаты 
и 
, то координаты вектора 
находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.
,
а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:
.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами 
и 
, выполняются по следующим правилам:
1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: 
;
2) при умножении вектора 
на число 
все его координаты умножаются на это число: 
.
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. 
.
Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Итак, если 
½½ 
, то 
или 
.
Умножение векторов
Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением 
двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: 
, где 
.
Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.
Векторным произведением двух векторов 
и 
называется вектор 
, который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
: 
;
2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от 
к 
рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов 
, 
и 
называется правой тройкой векторов).
Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: 
.
Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.
Смешанное произведение трех векторов 
, 
и 
, которое обозначается 
или 
, есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах 
, 
и 
, как на ребрах.
Пусть заданы два вектора 
и 
.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
Угол между векторами вычисляется по формуле
,
или в координатной форме 
.
Условием перпендикулярности ненулевых векторов 
и 
является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторное произведение ненулевых векторов 
выражается через координаты данных векторов 
и 
следующим образом:
.
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е. 
½½ 
.
Скаляр 
, представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: 
.
Задача. Определить внутренние углы 
c вершинами 
.
Решение. Найдем 
. Для этого надо найти векторы 
и 
. Зная векторы 
и 
, из формулы (2) получим
Легко видеть, что 
. Тогда
.
Отсюда 
.
Аналогично, находя предварительно, что 
, получим
.
Отсюда 
и 
.
Задача.Вычислить площадь треугольника с вершинами 
.
Решение. Найдем вначале площадь 
параллелограмма, построенного на векторах 
как на сторонах. По определению векторного произведения 
. Но
.
Тогда 
.
Следовательно, 
.
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами 
.
Решение. Найдем координаты векторов 
. Очевидно, что 
.
Тогда 
. Но 
. .
Следовательно, 
.