Подготовить конспект на следующие темы. 1. Производная функции и ее геометрическая и физическая интерпретация

1. Производная функции и ее геометрическая и физическая интерпретация. Правая и левая производные.

2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.

3. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала.

4. Производная и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

Вариант 2

1) Найти производные функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2) Найти дифференциалы указанного порядка

а) ;

б) .

3) Найти производную , если .

4) Вычислить , если .

5) В каких точках функция может иметь экстремум: .

7) Вычислить с помощью дифференциалов .

Подготовить конспект на следующие темы

1. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции.

2. Теорема о производной обратной функции. Вычисление производных некоторых простейших элементарных функций.

3. Дифференцирование функции, заданной параметрически.

4. Таблица производных простейших элементарных функций. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная.

Самостоятельная работа №5

Исследование функций

Вариант 1

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 2

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 3

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 4

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 5

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 6

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 7

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 8

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 9

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 10

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 11

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 12

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 13

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 14

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 15

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 16

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 17

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 18

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 19

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 20

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ;

2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 21

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 22

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 23

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 24

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 25

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 26

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 27

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 28

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 29

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 30

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке:
2. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение типового варианта

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует):

при и

Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка

Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее.

Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при , , а наименьшее значение равно -18 при ,

Пример 2.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

Общая схема исследования функций:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты.

3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции.

5. Найти наклонные асимптоты графика функции.

6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции.

7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.

8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.

1. Функция не определена, если

Область определения:

2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа

Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода.

Следовательно, прямая - вертикальная асимптота.

1. Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:

1. Область определения симметрична относительно начала координат
2. 

Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида.

Функция не является периодической

4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат

Найдем промежутки знакопостоянства функции

5. Найдем наклонные асимптоты где

Для k и b вычисляются аналогично

6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале.

Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет.

Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.

Составим таблицу

		-2
	+		+	не существует	-		+
				не существует
	возрастает		возрастает		убывает	min	возрастает

Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума

7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.

Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба.

Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .

Найдем точки перегиба

Составим таблицу

		-2
	-		+	не существует	+
				не существует

Точка - точка перегиба.

Дополнительные точки:

8. Построим график функции, используя результаты исследования.

Замечание:

При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.