Классическое нормальное распределение

Нормальное распределение или распределение Гаусса является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым.

Часто предполагается, что наработка до отказа подчинена нормальному распределению (нормально распределена) и плотность распределения отказов (ПРО) описывается выражением:

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.1)

где T0 и S – параметры распределения, соответственно, МО и СКО, значения которых могут быть определены по результатам испытаний. Т.е. Классическое нормальное распределение - student2.ru 0, Классическое нормальное распределение - student2.ru = S2- оценки средней наработки и дисперсии.

Графики изменения показателей безотказности при нормальном распределении приведены на рис. 6.1.

Смысловое значение параметров Т0 и S нормального распределения следует из графика f(t). Очевидно, что Т0 является центром симметрии распределения, поскольку при изменении знака разности (t - T0) выражение (6.1) не меняется, но функция f(t) (ПРО) из возрастающей превращается в убывающую и при t = Т0 достигает своего максимума.

Классическое нормальное распределение - student2.ru

Классическое нормальное распределение - student2.ru

Рис. 6.1

При сдвиге Т0 влево/вправо по оси абсцисс, кривая f(t) смещается в ту же сторону, не изменяя своей формы. Таким образом, Т0 является центром рассеивания случайной величины t, т. е. математическим ожиданием (МО).

Параметр S характеризует форму кривой f(t), т. е. рассеивание (разброс) случайной величины t относительно МО. Кривая ПРО f(t) тем выше и острее, чем меньше S.

Изменение графиков P(t) и Классическое нормальное распределение - student2.ru (t) при различных СКО наработок (S1 < S2 < S3) и Т0 = const приведено на рис. 6.2.

Используя полученные ранее (разделы 3, 4) соотношения между показателями надежности, можно записать выражения для P(t); Q(t) и Классическое нормальное распределение - student2.ru (t) по известному выражению (6.1) для f(t). Однако, в этом случае получаются громоздкие интегральные выражения, поэтому для практических расчетов показателей надежности вычисление интегралов заменяется использованием унифицированных таблиц. С этой целью переходят от случайной величины t к другой случайной величине

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.2)

распределенной нормально с параметрами, соответственно, МО и СКО M{X} = 0 и S{X} = 1 и плотностью распределения

Классическое нормальное распределение - student2.ru

Рис. 6.2

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.3)

Выражение (6.3) описывает плотность так называемого нормированного нормального распределения (рис. 6.3).

Классическое нормальное распределение - student2.ru

Рис. 3

Функция распределения случайной величины X запишется

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.4)

а из симметрии кривой f(x) относительно МО M{X} = 0, следует, что f(-x) = f(x), откуда F(-x) = 1 - F(x).

В справочной литературе приведены расчетные значения функций f(x) и F(x) для различных x = (t - Т0)/S.

Показатели безотказности объекта через табличные значения f(x) и F(x) определяются по выражениям:

  f(t) = f(x)/S; (6.5)
  Q(t) = F(x); (6.6)
  P(t) = 1 - F(x); (6.7)
  Классическое нормальное распределение - student2.ru (t) = f(x)/S(1 - F(x)). (6.8)

В практических расчетах часто вместо функции F(x) пользуются функцией Лапласа, представляющей распределение положительных значений случайной величины X в виде:

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.9)

Очевидно, что F(x) связана с Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) следующим образом:

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.10)

Как и всякая функция распределения, функция Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) обладает свойствами:

Классическое нормальное распределение - student2.ru (x)(- Классическое нормальное распределение - student2.ru ) = -0,5; Классическое нормальное распределение - student2.ru (x)( Классическое нормальное распределение - student2.ru ) = 0,5; Классическое нормальное распределение - student2.ru (x)(-x) = - Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) .

В литературе могут встретиться и другие выражения для Классическое нормальное распределение - student2.ru (x), поэтому, какой записью Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) пользоваться – это дело вкуса.

Показатели надежности объекта можно определить через Классическое нормальное распределение - student2.ru (x), используя выражения (6.5) - (6.8) и (6.10):

  Q(t) = 0,5 + Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) ; (6.11)
  P(t) = 0,5 - Классическое нормальное распределение - student2.ru (x) ; (6.12)
  Классическое нормальное распределение - student2.ru (t) = f(x)/S(0,5 - Классическое нормальное распределение - student2.ru (x)) . (6.13)

Чаще всего при оценке надежности объекта приходится решать прямую задачу – при заданных параметрах Т0 и S нормально распределенной наработки до отказа определяется тот или иной показатель безотказности (например, ВБР) к интересующему значению наработки t.

Но в ходе проектных работ приходится решать и обратную задачу – определение наработки, требуемой по техническому заданию, ВБР объекта.

Для решения подобных задач используют квантили нормированного нормального распределения.

Квантиль – значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.

Обозначим: tp– значение наработки, соответствующее ВБР P;

xp – значение случайной величины X, соответствующее вероятности P.

Тогда

Классическое нормальное распределение - student2.ru

при x = xp; t = tp, получаем tp= Т0 + xp S.

tp, xp – ненормированные и нормированные квантили нормального распределения, соответствующие вероятности P.

Значения квантилей xp приводятся в справочной литературе для P Классическое нормальное распределение - student2.ru 0,5.

При заданной вероятности P < 0,5 используется соотношение

xp = - x1-p .

Например, при P = 0,3

x0,3 = - x1- 0,3 = - x0, 7

Вероятность попадания случайной величины наработки T в заданный интервал [t1, t2] наработки определяется:

Классическое нормальное распределение - student2.ru (6.14)

где x1 = (t1 - Т0)/S , x2 = (t2 - Т0)/S .

Отметим, что наработка до отказа всегда положительна, а кривая ПРО f(t), в общем случае, начинается от t = - Классическое нормальное распределение - student2.ru и распространяется до t = Классическое нормальное распределение - student2.ru .

Это не является существенным недостатком, если Т0 >> S, поскольку по (6.14) нетрудно подсчитать, что вероятность попадания случайной величины T в интервал P{Т0 - 3S < T < Т0 + 3S} Классическое нормальное распределение - student2.ru 1,0 с точностью до 1%. А это означает, что все возможные значения (с погрешностью не выше 1%) нормально распределенной случайной величины с соотношением характеристик Т0 > 3S, находятся на участке Т0 ± 3S.

При большем разбросе значений случайной величины T область возможных значений ограничивается слева (0, Классическое нормальное распределение - student2.ru ) и используется усеченное нормальное распределение.

Наши рекомендации