Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Ряд Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

! Примеры: ,

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

(1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

, (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, и функции .

Решение: e и находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

, ,

, .

Функция находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

, .

Тема №4. Неопределенный интеграл

§4.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть функция f(x) есть производная от функции F(x), т.е. F¢(x) = f(x). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

! Примеры: f(x) = 2x; F(x) = x²; F(x) = x² + 2.

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных; если F(x) первообразная, то F(x) + C тоже первообразная, где C - неопределенный коэффициент.

Наиболее общий вид первообразной от функции f(x) называется неопределенным интегралом:

= F(x) + C.

Слово интеграл заимствован от латинского слова integralis – целостное. Процедура нахождения первообразной F(x) называется интегрированием, f(x)dx - подинтегральное выражение, f(x) - подинтегральная функция, x - переменная интегрирования, - знак интеграла..

! Примеры: ; .

Свойства неопределенных интегралов

1. Дифференцирование и интегрирование – это обратные действия. Они взаимно уничтожают друг друга: или .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: .

3. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

.

ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Табличные интегралы

Интегралы, которые применяются для интегрирования элементарных функций и их комбинаций, называются табличными интегралами. Ниже приводятся основные табличные интегралы.

1. , n Î R, n ¹ –1

2.

3.

3а.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

§4.3 Непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям