КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1. Вычислить пределы:
Задание 1
Вычислить пределы:
1.
2.
3.
4.
5.
Делаем замену ,
,
.
6.
.
Вычислить пределы.
1.
2.
3.
4.
Задание 2
При решении примеров используются формулы производных сложных функций , где
:
и другие.
1.
.
2. Преобразуем:
.
.
3.
4.
.
5.
логарифмируем:
дифференцируем:
6.
логарифмируем:
дифференцируем:
7.
.
Задание 3
Провести полное исследование функций и построить графики.
а) ; б)
.
Решение:
а) .
1) Функция определена на всей оси Ох, кроме точки , где она терпит бесконечный разрыв.
2) Находим наклонные асимптоты :
;
Наклонная асимптота . Вертикальная асимптота
.
Находим критические точки, в которых первая или вторая производная равна нулю, либо не существует:
;
.
Критическими точками будут и
, где
=0 . В точке
функция не существует.
Из формулы для следует, что y<0 при
, и y>0 при
.
Из формулы для следует, что при x из (-
,-2)
>0, т.е. функция возрастает; в интервале (-2,-1)
<0 – функция убывает, а точка
является точкой максимума. В интервале (0,+
)
>0 – функция возрастает. В интервале (-1;0) производная
<0 и функция убывает. Точка
– точка минимума.
В интервале (- ;-1)
<0 – график функции выпуклый, в интервале (-1; +
)
>0 - график вогнутый.
Результаты исследований сведем в таблицу:
x | (- ![]() | -2 | (-2,-1) | -1 | (-1,0) | (0,+ ![]() | |
y | - | -4 | - | - ![]() | + | + | |
![]() ![]() | + | - | не сущ. | - | + | ||
![]() | - | - | - | не сущ. | + | + | + |
Выводы: | Функция возрастает; график выпукл. | Точка максимума | Функция убывает; график выпукл. | Точка разрыва | Функция убывает; график вогнут. | Точка минимума | Функция возрастает; график вогнут. |
Строим график:
б) .
1) Функция определена, если >0 , т.е.
В точках и
функция имеет бесконечный разрыв, так как:
;
.
2) Прямые и
– вертикальные асимптоты, т.к. lim |y|=
в этих точках.
Наклонные асимптоты:
;
;
Таким образом, уравнение асимптоты .
3) Находим и
:
;
.
Критические точки:
0, в точках
и
функция не существует;
=0 , точка
– критическая точка;
ОДЗ.
>0 в интервалах (-
;-2) и (1;+
) – функция возрастает;
<0 в интервале (1;+
) – график функции выпуклый;
>0 в интервале (-
;-2) – график функции вогнутый;
Из условия у=0 найдем точку пересечения кривой с осью Ох.
.
Составим таблицу, включающую точки и
;
.
x | (- ![]() | -2 | (1, ![]() | ![]() | ( ![]() ![]() | |
y | + | + ![]() | - ![]() | - | + | |
![]() ![]() | + | не сущ. | не сущ. | + | + | + |
![]() | + | не сущ. | не сущ. | - | - | - |
Выводы: | Функция возрастает; график вогнут. | Вертикальная асимптота. | Вертикальная асимптота. | Функция возрастает; график выпукл. | Функция возрастает; график выпукл. |
Строим график функции:
Образец выполнения контрольной работы № 2
Задание 4
Найти неопределённые интегралы. В пунктах а) и б) результаты проверить дифференцированием.
а) ; б)
;
в) ; г)
.
Решение.
а)
.
Проверка.
Найдём производную от полученного результата:
.
Получили исходную подынтегральную функцию. Значит, интеграл найден верно.
Ответ: .
б) находят интегрированием по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид
.
Примем . Первое равенство дифференцируем, второе интегрируем:
.
Получаем: . Применяя формулу интегрирования по частям, находим:
.
Проверка.
.
Интеграл вычислен верно.
Ответ: .
в) – интеграл от рациональной дроби. Найдём корни многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. решим уравнение
:
и разложим знаменатель дроби на множители, а дробь – на сумму двух простейших дробей:
.
Приравняем числители первой и последней дроби:
.
Это тождество должно выполняться при всех .
Подставим :
.
Теперь подставим :
.
Значит, разложение дроби имеет вид:
.
Найдём теперь заданный интеграл:
.
Ответ: .
г) В интеграле сделаем замену переменной
, откуда
. Дифференцируя обе части, найдём:
.
После замены интеграл принимает вид:
=
.
Ответ: .
Задание 5
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
.
Решение.
Функция не ограничена в окрестности точки x = 3. Поэтому точка x = 3 – особая. По определению несобственного интеграла
Ответ:
.
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
.
Решение.
Искомая площадь заштрихована на рисунке.
Её величина вычисляется по формуле
.
Ответ: .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
Задание 7
Дано:
A= , B=
, C=
.
Найти: .
Решение:
=
=
=
= ;
=
+5
=
+
=
;
=
=
=
;
, где
;
- алгебраическое дополнение элемента
.
Проверка:
=
=
.
Получили, что , значит обратная матрица
вычислена верно.
Задание 8
Доказать совместность системы уравнений
и решить её а) методом Гаусса, б) матричным методом.
Решение:
Матрица системы ,
расширенная матрица .
Вычислим ранги матрицы А и матрицы С.
Применим к матрицам А и C элементарные преобразования. Обозначим схематически умножение i-й строки на число m и прибавление полученной строки к k-й строке.
Аналогичное обозначение применим к столбцам.
Деление строки (столбца) на число N обозначим
![]() |
A=
.
Следовательно, ранг А = 3.
Вычислим ранг матрицы С.
C =
![]() |
.
Следовательно, ранг С = 3
Так как ранг А = ранг С, то система совместна.
а) Решение системы методом Гаусса.
Рассмотрим расширенную матрицу С и осуществим преобразование со строками
C=
.
Коэффициенты матрицы G являются коэффициентами системы уравнений:
Получим:
.
б) Решение системы матричным методом.
Систему уравнений
можно представить в матричном виде, если обозначить матрицы:
A= ; B=
; X=
Система уравнений в матричном виде: A X=B
Решение имеет вид: X=
B
Найдем
.
Вычислим алгебраические дополнения:
X=
B =
=
=
=
Следовательно, .
Задание 9
Даны координаты вершин пирамиды :
(1;3;0) ;
(7;4;1) ;
(2;9;6) ;
(4;6;6).
Найти:
1) длину ребра ;
2) угол между ребрами и
;
3) уравнение прямой ;
4) уравнение плоскости ;
5) угол между ребром и гранью
;
6) объём пирамиды;
7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
;
8) сделать чертеж.
Решение:
1) координаты векторов:
=(6;1;1) ;
=(1,6,6);
=(3;3;6).
Длины векторов: =
=
;
=
=
.
2) Угол между ребрами и
:
,
.
3) уравнение прямой :
4) уравнение плоскости :
(x-1)(6-6) - (y-3)(6 6-1
1)+z(6
6-1
1)=0
-35(y-3) + 35z = 0
y-z-3=0
5) угол между ребром
и гранью
(плоскостью
)
,
.
6) объем пирамиды:
![]() | (Из 3-го столбца вычтем 2-й столбец) | ![]() |
7) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань
. Направляющий вектор высоты – это нормальный вектор плоскости
на грань
. Каноническое уравнение высоты:
.
8) Чертеж:
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ….………………………….………………………. | |
Учебный план дисциплины ……...…….…………………… | |
Цели и задачи дисциплины ………………….……………… | |
Общие рекомендации студенту заочного отделения по изучению курса математики ..........………...…………..…… | |
Указания по выполнению контрольных работ .…………… | |
Таблица вариантов .………………………..………………… | |
Рекомендуемая литература ………………….……………… | |
Рабочая учебная программа курса и методические указания к изучению предмета …………………………………… | |
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ……………………… | |
Контрольная работа № 1 ………………………………… | |
Контрольная работа № 2 ……….………………………… | |
Контрольная работа № 3 …………………….…………… | |
ОБРАЗЦЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ .….. | |
Контрольная работа № 1 …….…………………………… | |
Контрольная работа № 2 ………………………………… | |
Контрольная работа № 3 ………………………………… |