Показатели надежности восстанавливаемых систем

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

S_K S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

S_M S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = S_K S_M ,

S_K S_M = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

2. Функция простоя П(t) системы

3. Коэффициент готовности k_г.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

Коэффициент готовности k_г.с. можно рассчитать по системе (13.2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dP_i(t)/dt = 0, т.к. P_i = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

(13.3)

и коэффициент готовности: есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4. Параметр потока отказов системы

(13.4)

где _jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

(13.5)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

(13.6)

Примечание: При t , когда P_j(t = ∞) = P_j(∞) = P_j, средняя наработка между отказами T₀= k_г.с./ω, где ω (∞) = ω.

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

ω = λ = 1/ T₀,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ T_В ,

где T0 – средняя наработка между отказами;

T_В – среднее время восстановления.

P₀(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P₁(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

(13.7)

Начальные условия: при t = 0 P₀(t = 0) = P₀(0) = 1; P₁(0) = 0, поскольку состояния S₀ и S₁ представляют полную группу событий, то

P0(t) + P1(t) = 1.

(13.8)

Выражая P₀(t) = 1 - P₁(t), и подставляя в (13.7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P₁(t):

dP1(t)/dt = λ (1 – P1(t)) - μP1(t).

(13.9)

Решение уравнения (13.9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния P_i(t):

т. е. P_i(S) = L{P_i(t)} – изображение вероятности P_i(t).

Преобразование Лапласа для производной dP_i(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(13.9)

где L{ } = L{1} = /S .

При P₁(0) = 0

SP₁(S) + P₁(S)( + ) = /S.

P₁(S)( S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(13.10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e^-at,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

(13.11)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

(13.12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы k_г.с. определяется при установившемся режиме t ∞, при этом P_i(t) = P_i = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку dP_i(t)/dt = 0.

Так как k_г.с. есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t ∞, то из полученной системы уравнений определяется P₀ = k_г.с..

При t ∞ алгебраические уравнения имеют вид:

(13.13)

Дополнительное уравнение: P₀ + P₁ = 1.

Выражая P₁ = 1 - P₀, получаем 0 = P₀ - (1 - P₀), или = P₀ ( + ), откуда

(13.14)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

Г(t) = P₀ (t); П(t) = 1 - Г(t) = P₁(t).

- параметр потока отказов (t) по (4)

ω(t) = P₀(t) = Г(t).

При t ∞ (стационарный установившийся режим восстановления)

ω(t) = ω(∞) = ω= P₀ = k_г.с.

- ведущая функция потока отказов (t ∞)

- средняя наработка между отказами (t )

t₀= k_г.с. / ω= k_г.с. / k_г.с. = 1 / .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 13.1

Анализ изменения P₀(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности μ =∞, λ/μ = 0 и P₀(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления (μ = 0) λ/μ = ∞ и P₀(t) = e^-λt, и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности μ выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P₀ (0) = 1; P₁(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

После группировки:

откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t: