Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат

Нормальный характер распределения свидетельствует о количественной однородности статистических данных и об отсутствии каких-либо причин существенным образом определяющих вариацию изучаемого явления.

Поэтому статистический анализ нередко начинается с проверки того, как фактически (эмпирически) данные ложатся на идеальную теоретическую кривую или аппроксимируются. То есть сравниваются эмпирические и теоретические данные какой-либо кривой. Это производится путем оценки гипотезы нормального характера распределения. Вероятностные статистические предположения выдвигаются в виде нулевой гипотезы. Отклонения эмпирических данных от «нормальных» носят случайный характер. Оценку нулевой гипотезы в данном случае осуществляют графическим методом или путем расчета специальных обобщающих показателей сходства, называемых критериями согласия.

Независимо от выбранного метода генеральные ряды распределения преобразуются в дискретные и стандартизируются.

Пример: Известно, что среднемесячная заработная плата всех рабочих Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru =1402,42 руб., среднеквадратическое отклонение Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru =338,58 руб.

Данные распределения среднемесячной заработной платы:

Средне-месячная заработная плата Число раб-ков, Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru (эмпир.) Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru (теор.) Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru
До 700 -2,37 -2,81 0,0241 12,93 3,07 9,41 0,73
700,1-900 -1,78 -1,58 0,0819 44,04 11,96 142,95 0,73
900,1-1100 -1,19 -0,71 0,1969 105,82 -16,82 282,90 3,25
1100,1-1300 -0,60 -0,18 0,3337 179,35 -7,35 54,05 2,67
1300,1-1500 -0,01 0,00 0,3989 214,44 29,56 873,70 0,30
1500,1-1700 0,58 -0,17 0,3365 180,87 -17,87 319,44 4,07
1700,1-1900 1,17 -0,69 0,2002 107,62 -14,62 213,80 1,77
1900,1-2100 1,76 -1,56 0,0840 45,17 18,83 354,42 1,99
Свыше 2100,1 2,36 -2,77 0,0249 13,38 -0,38 0,14 7,85
Итого               0,01
                  22,63


В связи с тем, что табличные значения рассчитаны для непрерывно изменяющегося признака с дисперсией равной 1, необходимо скорректировать полученные частности на фактическую величину интервала и среднеквадратическое отклонение.

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru , где Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru величина интервала. Так как все интервалы равны Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru , тогда Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru .

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru

Графики не позволяют определить насколько существенны отклонения эмпирических и теоретических значений, поэтому более точным считается способ расчета критерия согласия Пирсона известного под названием, как «хи» квадрат:

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru .

В соответствии с формулой, чем сильнее совпадение кривых, тем меньше величина Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru . При отсутствии отклонений Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru , но даже при небольших отклонениях величина Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru зависит от числа слагаемых, то есть от числа групп. Если Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru >0, то необходима его вероятностная оценка.

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru - число степеней свободы и заданная вероятность несущественности отклонений эмпирических данных и теоретических. r – число групп, k - число параметров, которые нельзя изменить.

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru

Поскольку фактическое значение Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru (22,63) гораздо больше табличного (5,348) даже для вероятности 0,5, гипотеза о случайном характере отклонений эмпирических данных от теоретических отклоняется.

Тема 10.4. Сравнительная оценка параметров эмпирического и нормального распределений. Критерий Пирсона «хи» квадрат - student2.ru

Наши рекомендации