Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.

Оценка отклонения эмпирического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. (СРС)

Для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального используют различные характеристики, к числу которых относятся асимметрия и эксцесс. Смысл этих характеристик аналогичен смыслу асимметрии и эксцесса теоретического распределения.

Асимметрия эмпирического распределения определяется равенством

,

где - центральный эмпирический момент третьего порядка.

Эксцесс эмпирического распределения определяется равенством

,

где - центральный эмпирический момент четвертого порядка.

Моменты и удобно вычисляются методом произведений.

Пример.Найти асимметрию и эксцесс эмпирического распределения:

варианта	10,2	10,4	10,6	10,8	11,0	11,2	11,4	11,6	11,8	12,0
частота

Решение.Воспользуемся методом произведений, для чего составим расчетную таблицу:

10,2		-4	-8		-128
10,4		-9	-9		-81
10,6		-2	-16		-64
10,8		-1	-13		-13		-
11,0			-46		-286
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0

Поскольку уже указывалось, как заполнять столбцы 1-5 таблицы, ограничимся краткими пояснениями: для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждой строки столбцов 3 и 5; для заполнения столбца 7 удобно перемножить числа каждой строки столбцов 3 и 6. Столбец 8 служит для контроля вычислений по тождеству:

Контроль:

Совпадение сумм свидетельствует о том, что вычисления произведены правильно.

В примере для рассматриваемого распределения было найдено: , следовательно,

Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядка:

Найдем асимметрию и эксцесс:

Замечание.В случае малых выборок к оценкам асимметрии и эксцесса следует относиться с осторожностью и определить точность этих оценок (см.: Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1965, с. 277).

Глава 2. Теория оценок

Выборочные статистики

Выборочной статистикой называется произвольная числовая функция , вычисляемая для значений , образующих выборку. Если вместо чисел рассмотрим случайные величины , независимые и одинаково распределенные (так же, как и генеральная совокупность X), то получим случайную величину , которая также называется выборочной статистикой или просто статистикой. В математической статистике случайные величины и их значения часто обозначаются одними и теми же маленькими буквами.

Пример1. Выборочное среднее является выборочной статистикой. С одной стороны это число, а с другой стороны это случайная величина, так как от выборки к выборки она может меняться. Пусть – математическое ожидание и дисперсия генеральной совокупности X. Случайные величины имеют те же распределения, что и генеральная совокупность X. Следовательно, . Математическое ожидание и дисперсия случайной величины равны

, ; .

Таким образом, математическое ожидание выборочного среднего равно математическому ожиданию генеральной совокупности, а дисперсия выборочного среднего в n раз меньше дисперсии генеральной совокупности.

Пример 2. Выборочная дисперсия также является выборочной статистикой. Все, сказанное выше о выборочном среднем, справедливо и для выборочной дисперсии. , . Математическое ожидание случайной величины равно

.

Математическое ожидание выборочной дисперсии не равно дисперсии генеральной совокупности X. Чтобы получить равенство, рассматривают другую статистику:

.

Она называется исправленной выборочной дисперсией, а корень из нее – исправленным выборочным средним квадратическим отклонением. При этом .