Образец решения задачи
Дан фрагмент таблицы истинности:
| X | Y | Z | F |
Какое выражение соответствует F?
1) XVYVZ 2) X Λ Y Λ Z 3) X V Y V Z 4) X Λ Y Λ Z
Составим таблицу:
| X | Y | Z | XVYVZ | X Λ Y Λ Z | X V YV Z | X Λ Y Λ Z |
Ответ: 3
Решить самостоятельно
1. Дан фрагмент таблицы истинности:
| X | Y | Z | F |
Какое выражение соответствует F?
1) XVY V Z 2) X Λ Y Λ Z 3) X V Y V Z 4) X Λ Y Λ Z
Ответ: 1
2. Дан фрагмент таблицы истинности:
| X | Y | Z | F |
Какое выражение соответствует F?
1) X V Y VZ 2) X Λ Y Λ Z 3) X V Y V Z 4) X Λ Y Λ Z
Ответ: 2
3. Дан фрагмент таблицы истинности:
| X | Y | Z | F |
Какое выражение соответствует F?
1) X Λ Y Λ Z 2) X Λ Y Λ Z 3) X V Y V Z 4) XVYVZ
Ответ: 4
Задачи по логике, в которых надо уметь рассуждать.
1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии.
1) Решим неравенство: Х<Х-1, 0<-1 – ложно при любом Х. Значит, чтобы искомое выражение было истинным надо, чтобы 90<Х·Х было ложно.
2) Найдите наибольшее целое число Х, при котором 90<Х·Х ложно. Это и будет ответ на вопрос задачи.
Ответ: 9
Решить самостоятельно
6. Каково наибольшее целое число Х, при котором истинно высказывание:
(50<Х·Х)→(50>(Х+1)(Х+1))
Ответ: 7. Объясните в тетради – Почему?
7. Укажите значения логических переменных K, L, M, N при которых логическое выражение ложно: (K V M)→(M VL V N)
Решение.
Рассуждаем следующим образом: логическое следование ложно только в одном случае, когда K V M истинное выражение, а M VL V N ложное выражение.
1) Чтобы правильно ответить на поставленный вопрос вспомните, что логическая сумма ложна, если все слагаемые ложны, т.е. равны нулю.
2) Логическая сумма истинна, если хотя бы одно из слагаемых истинно, т.е. равно 1.
Ответ: 1100 (К=1, L=1, M=0, N=0. Действительно: (1V0)→(0V0V0).
Решить самостоятельно
8. Сколько различных решений имеет уравнение ((K V L)→(L Λ M Λ N))? В ответе перечислить все полученные значения K, L, M, N. Ответ лучше оформить в виде таблицы, в которой количество столбцов равно числу переменных, а количество строк – количеству решений.
Ответ: 10
В следующих примерах надо доказать равносильность или эквивалентность выражений. Существуют два способа решений:
1. Составлять таблицы истинности, что долго.
2. Применить законы логики. Очень часто используются законы де Моргана:
(А VВ)=А ΛВ
(А ΛВ)=А VВ
Примеры заданий из ЕГЭ разных лет.
1. Какое логическое выражение равносильно выражению: (А V В) V С
1) (А ΛВ) VС 2)А V В V С 3) А V В V С 4) (А Λ В) V С
Решение.
По закону де Моргана (А VВ)=А ΛВ, выражение в скобках примет следующий вид:
(А V В)= А ΛВ.
Заменим выражение в скобках полученным выражением. Искомая формула примет вид: (АΛВ)VС, т.е. доказано, что (А V В) V С=(А ΛВ) VС
В формулах знак равносильности и эквивалентности можно заменить знаком равенства.
Ответ: 1
Следующие примеры выполните самостоятельно, выбранные по законам де Моргана ответы проверьте, используя таблицы истинности:
Решить самостоятельно
2. Какое логическое выражение равносильно выражению: (А Λ В) Λ С
1) А V В V С 2) (А V В) Λ С 3) (А V В) Λ С 4) А ΛВ Λ С
Ответ: 2
4. Впервые идеи о «математизации» логики появились в XVII в. Так французский философ и математик Рене Декарт (1596-1650) считал, что человеческий разум может постигнуть истину, если будет сводить сложные идеи к простым, переходить от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких-либо пропусках в логических умозаключениях. Таким образом, он рекомендовал в логике использовать общепринятые математические методы.
5.Немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы исчисления. Так зарождалась математическая, или символическая логика. Логические исследования Лейбница были столь значительны, что и через 200 лет оказали существенное влияние на развитие математической логики.
6.Отцом математической логик по праву считается английский математик XIX столетия Джордж Буль (1815-1864). В его знаменитых трудах по началам математической логики («Математический анализ логики», «Исчисление логики» и «Исследование законов мысли»), появившихся в конце 40-х – начале 50-х гг., логика обрела свой алфавит, свою орфографию и грамматику. Именем Дж. Буля назван раздел математической логики – булева алгебра (или алгеброй логики).
7.Большой вклад в становление и развитие математической логики внесли:
Августу де Морган (1806-1871)
Уильям Стэнли Джевонс (1835-1882)
Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907)
Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914)
И. Кант (1724-1804)
Марков А. А. (1903-1979)
Алгебра логики – это раздел математики, нашедший большое практическое применение в технической области знаний. Она используется для решения сложных математических задач, разработке компьютеров, электронных устройств, автоматических систем, в робототехнике и т.д.
(Слайд 4)
Необходимость изучения алгебры логики.
1. Логические вентили.
2. Выполнение запросов в базах данных.
3. Работа с диаграммами и гистограммами, решение логических задач в электронных таблицах.
4. Использование условного оператора в языках программирования.
5. Выполнение заданий ЕГЭ по информатике и ИКТ.
В ЭВМ информация подвергается не только арифметической, но и логической обработке. Основу работы логических схем и устройств ЭВМ составляет математический аппарат – алгебра логики.
В настоящее время на экзаменах по информатике есть много заданий по теме “алгебра логики”.