Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма: пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х0Î(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю. Док-во: пусть для определённости функция в точке х0 принимает наибольшее значение, тогда для любого хÎ(a;b), х¹х0, f(x)£f(x0). Таким образом приращение функции равно: Dy=f (x)-f(x0), где х=х0+Dх или Dy=f(х0+Dх)-f(x0). Dy£0, тогда . Рассмотрим Dх>0: Dy£0, Dx>0, f ’(x0)£0; рассмотрим Dx<0: Dy£0, Dx<0,

f ’(x0)³0. отсюда следует, что f ’(x0)=0.

Замечание: теорема не верна, если рассматривать функцию на отрезке, а не на интервале.

Теорема Роля: если функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], причём выполнено: 1) функция не прерывна на отрезке, 2) функция дифференцируема в интервале (a;b), 3)f(a)=f(b), тогда найдётся такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), такая, что значение производной в этой точке равно нулю. Док-во: так как функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса функция принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. есть такие x1 и x2, принадлежащие интервалу (a;b), для которых f(x1)=M, f(x2)=m, и m£f(x)£M. Тогда возможны два случая: 1) M=m, 2)M>m. В случае 1 функция является const, f ’(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме ферма f ’(C)=0.

Теорема Лагранжа: Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо: . Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)- , она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля: 1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+ , 2) F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0- , 3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .

Замечание: равенство f(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Теорема Коши: Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g’(x)¹0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула: . Док-во: данная формула имеет смысл в случае, если g(b)¹g(a). Если бы эти значения были бы равны, то по теореме Ролля для функции g(x) нашлась бы такая точках0, что g’(x0)=0. по условию g’(x)¹0, значит g(b)¹g(a). Составим вспомогательное уравнение: F(x)=f(x)-f(a)- . Это уравнение удовлетворяет всем трём условиям теоремы Ролля, тогда по теореме Ролля для функции F(x) найдётся такая точка С, что F’(c)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .

Замечание: эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных производных.

Правило Лапиталя

Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при х®х0 есть неопределённость вида [0/0] если и . Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.

Теорема Лапиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что и , g’(x)¹0. тогда если существует предел , то существует и и они равны между собой.

Док-во: применим к функциям f(x) g(x) теорему Коши на отрезке [x0;x], тогда найдётся такая точка СÎ(a;b) для которой выполняется , тогда . Переходим к пределу при х®х0: .

Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥].

Монотонность функций.

Признак монотонности: Если функция дифференцируема на интервале и её производная в точке принадлежащей этому интервалу больше или равна нулю, то функция является неубывающей, если производная меньше или равна нулю, то функция невозрастающая.

Док-во: рассмотрим случай f ’(x)³0. пусть x1,x2Î(a;b), x1<x2, тогда на отрезке [х1;х2] функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по теореме следует:

f(x2)-f(x1)=f ’(c)(x2-x1), f ’(c) ³0, f(x2)-f(x1) ³0, f(x2) ³f(x1).

Экстремумы функций.

Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (xÎ(x0-d;x0+d)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).

Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.

Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-d;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f ’(c)>0*(x0-x)>0, cÎ(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+d): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-d;x0+d) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.