Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма: пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru определена в замкнутом промежутке [a,b]. Внутренняя точка с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение

- в этой точке существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru . Тогда Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Геометрический смысл этой теоремы заключается в следующем: При выполнении условий теоремы в указанной точке Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru т.е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси OX. если y=f(x) определена [a,b] (.)c=max(min) Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Тогда Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Теорема Ферма может быть неприменима, если в точке C конечной производной нет

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Теорема Ролля.

пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

1. определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]

2. существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru хотя бы в отдельном промежутке (a,b)/

3. На концах промежутка функция принимает равные значения Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Тогда между a и b найдется такая точка c , что Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

если y=f(x) Определена в [a,b] не прерывна Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru в (a,b) тогда f(a)=f(b). Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

геометрический смысл в том, что при выполнении условий теоремы найдется такая точка C , что в указанной точке Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , т.е. в указанной точке касательная перралельна оси OX.

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Теорема Лагранжа.

пусть функция Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

- определена и не прерывна в замкнутом промежутке [a,b].

- существует конечная производная Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru хотя бы в определенном промежутке Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

тогда между a и b найдется такая точка c, что Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru полученная формула называется формулой Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий..

Касательная в точке c параллельна [a,b].

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Угловой коэффициент Хорды равен угловому коэффициенту касательной.

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Хорда- отрезок соединяющий две точки окружности

Теорема Коши.

Пусть функции Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

1.определена в замкнутом промежутке [a,b]

2.имеет конечные производные Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru хотя бы в прoмежутке (a,b)

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru в промежутке (a,b) тогда между a и b найдется такая точка c, что Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Правило Лапиталя

предел отношения двух бесконечно малых или больших функций равен пределу отношения их производных ( конечному или бесконечному) если такой преднл существует в указанном смысле .

Т.е. если имеется неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru или Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , то Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Неопределенность это выражение вида: Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru /

Пример: найти Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Применяя правило Лапиталя получим:

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Пример: Найти Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , опять неопределима тогда берем вторую производную Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

пример:

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru в данном случае имеем не определенность Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Пример:

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru применяем правило Лапиталя: Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru остается

применяем правило Лапиталя еще раз получим

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Правило Лапиталя можно применять так же и для раскрытия неопределенностей вида Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru Для этого произведение f(x)*g(x) следует записать в виде Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru или Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru получить неопределенность вида : Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru или Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

пример: Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

4. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

5. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

6. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

7. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Эквивалентные бесконечные величины при Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru ,

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

3. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

4. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

5. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru неопределенность вида Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем сложно показательную функцию дифференцировать такую функцию можно при помощи логарифмического дифференцирования т.е. дифференцирование после предельного логарифмирования т.е.

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Используем соотношение на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции.

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

согласно этой формуле

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

7. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru имеем неопределенность Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Преобразуем предел:

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru найдем отдельно предел по правилу Лапиталя: Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

пример1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

2. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

пример: найти дифференциал функции Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru точке x=2

1. выделяя линейеую относительно Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru часть приращения функции Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

2. по формуле Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Решение:

1.прирощение функции

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Выделяя линейную относительно Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru x часть прирощения функции получаем что Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

2. Дифференциал функции

Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

II. Задание и указания обучающимся по подготовке к практическому занятию

При подготовке к практическому необходимо изучить основную и дополнительную литературу.

Наши рекомендации