П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления

Тема 4. Приложение производной.

Теорема Ферма. Если функция П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru непрерывна на отрезке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru этого отрезка (т.е. П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru ), то, если в точке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru существует производная П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , то она обязательно равна 0: П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Геометрический смысл.

  Рис. 1     Рис. 18
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

Касательная будет параллельна оси П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru – геометрическое истолкование теоремы Ферма (Рис. 1).

Теорема Ролля. Если функция П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru непрерывна на отрезке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и дифференцируема на интервале П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и при этом П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru такая, что П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Геометрический смысл

  Рис. 2     Рис. 19
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
Если на концах отрезка функция П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru – геометрическое истолкование теоремы Ролля (Рис. 2).

Теорема Лагранжа. Пусть функция П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru непрерывна на отрезке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru и дифференцируема на интервале П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , тогда существует такая точка П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru , что

П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru .

Геометрический смысл.

    Рис.3   Рис. 20
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru
П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru

На отрезке П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( П. 4.1. Основные теоремы дифференциального исчисления - student2.ru – тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (Рис. 3).

Наши рекомендации