Интегральный признак Коши
Теорема: Если каждый член положительного ряда меньше предшествующего, то: а) если предел конечный, то ряд (1) сходится, б) если предел бесконечный, то ряд (1) расходится.
@ Задача 5. Исследовать на сходимость гармонический ряд .
Решение: Из интегрального признака Коши следует, что ряд расходится.
Ряд называется знакопеременным, если его члены поочередно положительны и отрицательны. Достаточным признаком сходимости знакопеременного числового ряда являются признак Лейбница.
Признак Лейбница
Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю, все время убывая по абсолютному значению.
! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· сходится согласно признаку Лейбница.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда.
! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/4 + 1/9 – 1/16 + ··· является абсолютно сходящимся.
Знакопеременный рядможет сходиться и тогда, когда ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.
! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· является условно сходящимся.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенной
,
где числа а0, а1, ¼ ап называются коэффициентами ряда.
При x = x0 степенной ряд превращается в числовой ряд. Если полученный числовой ряд сходится, то точка x0 называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится – точкой расходимости.
Совокупность числовых значений x, при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости.
Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x0|.
Следствие: Если ряд расходится при x = x1, тоон расходится и при всех |x| > |x1|.
Из теоремы Абеля следует, что если x0 ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x0|;|x0|)весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится.
Интервал (– |x0|;|x0|)называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x0|называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых |x| < R, ряд абсолютно сходится, а при |x| > R ряд расходится.
В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞.
Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = – R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно.
Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как , а согласно признаку Коши - R = 1/.
@ Задача 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .
Решение: Радиус сходимости можно найти по формуле Даламбера
= .
Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.
@ Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда .
Решение: Радиус сходимости находим по формуле Коши
R = 1/= .
Следовательно, степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0.