Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Кафедра математики

Математика

«Ряды»

Методические указания к выполнению РГР: «Ряды»

для студентов всех специальностей

г. Брянск – 2002

Министерство образования Российской Федерации

Брянская государственная инженерно-технологическая академия

Кафедра математики

Утверждены

Научно-методическим

Советом БГИТА

Протокол №­­­­­­­­­­­­­­___ от _________

Математика

«Ряды»

Методические указания к выполнению РГР: «Ряды»

для студентов всех специальностей

г. Брянск – 2002

Составили: к. ф.-м. н., доцент Гущин Г.В., к. ф.-м. н., доцент Алексеева Г.Д.,

доцент Муравьев А.Н.

Рецензент: к. ф.-м. н., доцент Бойко Е.И.

Рекомендованы: учебно-методической

комиссией механического

факультета

Протокол№ ___ от__________2002г.

Введение

Настоящие методические указания предназначены в помощь студентам при самостоятельном изучении раздела «Ряды» и выполнении расчётно-графической работы по этой теме.

Каждый раздел начинается с краткой теоретической справки, приведены примеры решения задач, а также в пункте IV предлагаются задачи, которые студент решает самостоятельно под руководством преподавателя.

Предполагается, что перед решением задач, студент ознакомится с указанной в методических указаниях литературой.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2, М., «Наука»,

1970-1978, 1985

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М., «Наука», 1978

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.II, М., «Высшая школа», 1980

I.Числовые ряды

[1], гл. XVI, §1 – 7, 8, 18, 24

Если {Un}= U1,U2, …,Un, … бесконечная числовая последовательность, то выражение:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru называется числовым рядом.

Сумма конечного числа nпервых членов ряда называется n-й частичной суммой:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Если существует конечный предел:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ,

то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда):

Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Признаки сравнения рядов с положительными членами.

Пусть имеются два ряда с положительными членами:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru и Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Un Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Теорема:Если члены рядов удовлетворяют неравенству Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru (n = 1,2,…),

и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходится, то сходится и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Если Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru расходится, то и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru расходится.

Теорема (предельный признак сравнения): Если существует конечный и отличный от нуля предел Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то ряды Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru и Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходятся и расходятся одновременно.

Признаки Даламбера и Коши.

Теорема (признак Даламбера):

Если для числового ряда Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru отношение (n +1)-го члена ряда к n-му при n Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru имеет конечный предел L:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то

1) ряд сходится в случае L<1,

2) ряд расходится в случае L>1,

3) требуются дополнительные исследования, когда L=1.

Теорема (признак Коши):

Если для ряда Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Un Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru :

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то

1) ряд сходится при L<1;

2) ряд расходится при L>1;

3) необходимы дополнительные исследования при L=1.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена

Теорема: Пусть члены ряда Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru –– положительны и не возрастают (Un+1 Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Un) и пусть f(x) такая непрерывная убывающая функция, что f(n)=Un , тогда, если несобственный интеграл Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходится, то сходится и Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Если ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходится, то ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru также сходится, и такая сходимость называется абсолютной.

Если ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru расходится, а ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходится, то такая сходимость называется условной.

Теорема (признак Лейбница):

Если для знакочередующегося ряда Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , ( Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ) выполнены условия: 1) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; 2) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то ряд сходится, и для остатка ряда Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru справедлива оценка Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Исследовать на сходимость числового ряда.

Пример 1:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru –– ряд сходится, по необходимому признаку сходимости:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru –– не существует, т.к. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ;

Пример 2:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ряд расходится, т.к. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Не выполнен необходимый признак сходимости.

Пример3: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , где Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Т.к. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , а ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru сходится, если его сравнить со сходящимся рядом Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Следовательно, по признаку сравнения, сходится и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru и ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ,

т.к. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Пример 4: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Применим предельный признак сравнения:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ~ Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , ряд Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru –– расходится.

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Из расходимости Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru и конечности предела следует расходимость исходного ряда.

Пример 5: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Применим признак Даламбера: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Исходный ряд сходится.

Пример 6: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Применим признак Даламбера: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Исходный ряд расходится.

Пример 7: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ;

Применим признак Коши: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Исходный ряд сходится.

Пример 8: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ;

Используя асимптотическую формулу Стирлинга Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru при Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ,

получаем Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , –– исходный ряд расходится.

Пример 9: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

1) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; 2) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Рассмотрим интегральный признак:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ;

Исходный ряд сходится при Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru и расходится при Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Пример 10: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; 1) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; 2) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Применим интегральный признак Коши: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ;

Исходный ряд сходится.

Пример 11: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Рассмотрим ряд из модулей: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Применим признак Коши:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 12: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ,

1) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru расходится как гармонический ряд;

2) Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru по признаку Лейбница расходится –– условно.

II.Степенные ряды

[1], гл. XVI, § 13-15; [2], гл. IX, § 9-11, 13.

Функциональным рядом называется ряд вида:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru –– некоторые функции, Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Совокупность Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , в которых ряд сходится, называется областью сходимости ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма будет функцией Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал. (теорема Абеля)

Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , что для всякой точки Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , лежащей внутри этого интервала, ряд сходится абсолютно, а для точек Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , лежащих вне его, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости. На концах интервала Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru вопрос сходимости решается дополнительным исследованием

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , или Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Степенным рядом также называется функциональный ряд вида:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Интервалом сходимости ряда будет интервал вида Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Радиус сходимости определяется по тем же формулам.

Ряд Тейлора для функции Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru в окрестности точки Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru :

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Если Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru , то ряд Тейлора называется рядом Маклорена:

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Примеры разложения функций в ряды:

Пример 1: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru …, Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Пример 2: Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru

Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ; Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru ,…, Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена - student2.ru .

Наши рекомендации