Примеры решения заданий контрольной работы №4
Задание 1. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя
= 
Задание 2. Исследовать функцию 
и построить ее график.
Решение. Будем следовать общему плану.
Построим координатную плоскость, на которую будем наносить результаты, полученные в
каждом разделе.
I. Общая характеристика функции.
1. Область определения 
: 
Т. е 
2. Характеристика функции.
Функция 
называется четной, если 
, нечетной, если 
, иначе - функцией общего вида
По определению, 
- нечетная функция.
3. Непрерывность функции.
является непрерывной везде, кроме точек 
и 
, где она терпит бесконечный
разрыв.
4. Точки пересечения графика функции с осями координат.
5. Асимптоты.
1. Вертикальные асимптоты связаны с точками бесконечного разрыва
предел слева: 
предел справа: 
предел слева: 
предел справа: 
2. Наклонные асимптоты.
; 
; 
Наклонная асимптота 
При 
и при 
график функции будет неограниченно приближаться к
графику прямой .
Полученные точки и асимптоты наносим на координатную плоскость.
Схематический график 1.
II. Исследование функции на возрастание и убывание, экстремумы.
1.Находим
2. 
или 
, 
не существует, если 
=0, т.е. и , но эти точки не входят в область
определения.
Нанесем полученные точки на ось 
Определяем знак первой производной в каждом полученном интервале, для чего определим
знак в произвольной точке каждого интервала.
Возьмем, например, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
4. Определяем участки возрастания и убывания функции.
функция убывает
функция возрастает
функция возрастает
функция возрастает
функция возрастает
функция убывает
6. Определяем точки экстремума.
7. 
Точка 
-мининум
Точка 
-максимум
Нанесем точки экстремума на координатную плоскость.
Схематический график 2.
III. Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
1. Находим вторую производную
2. 
- не существует при 
, т.е. и ; но эти точки не входят в область
определения .
3. Нанесем эти точки на ось .
Определяем знак второй производной в каждом полученном интервале, для чего определяем
знак 
, например, в точках , , и
4. Определяем интервалы выпуклости и вогнутости функции
- функция вогнутая 
- функция выпуклая 
- функция вогнутая
- функция выпуклая
5. Определяем точки перегиба.
При переходе через 
меняет знак (выпуклость меняется на вогнутость).
Определяем значение 
в точке перегиба.
; точка перегиба (0,0).
Наносим точку перегиба на схематический график.
Схематический график 3.
IV. Строим график.
