Примеры решения задач контрольной работы

Пример 1.Решить уравнение

Решение. Выразим из уравнения Получили однородное уравнение. Делаем замену – уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: Возвращаясь к старой переменной у, получаем:

Ответ:

Пример 2. Найти решение задачи Коши

Решение. Разделим обе части уравнения на x: Получили линейное уравнение.

Решаем уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части:

Пользуясь свойствами логарифма, получаем (Мы ввели новую константу С₁, связанную со старой следующим образом: С = lnC₁). Считая С₁ функцией от x, подставляем в полученное линейное уравнение и

Отсюда находим C₁ = sin x + B, где B – константа.

Используя начальные условия, найдём константу В.

Ответ:

Пример 3.Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям: ,

Решение. Дано ЛНДУ II порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение уравнения ищем в виде

а) Найдем :

Его характеристическое уравнение ; Значит

б) ищем, используя метод неопределённых коэффициентов , , .

Подставив , в исходное уравнение, получаем

Чтобы найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, продифференцируем

Подставим в и вместо x = 0, = 0, = 1.

Подставим найденные и в : .

Ответ: .

Пример 4.Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение:

Найдём радиус сходимости:

Интервал сходимости:

Рассмотрим концы интервала:

при получим ряд

, следовательно (по признаку сравнения) ряд расходится.

при получим ряд , это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1)

2) т.е.

Условия выполнены, значит ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится при

Пример 5.Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.

Решение. Используем известное разложение

область сходимости ­–1 < x £ 1.

Итак:

область сходимости ­

Пример 6. В группе 18 студентов из которых, из которых 8 имеют задолженность по математическому анализу. Какова вероятность того, что из 10 произвольно выбранных студентов 3 человек имеют задолженность?

Решение. Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N₁ элементов первого вида и N₂ элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности из k элементов она состоит из k₁ элементов первого вида и k₂ элементов второго вида, где k = k₁ + k₂, k₁ £ N₁, k₂ £ N₂.

Пример 7.Предполагаем, что рост призывника – нормально распределенная случайная величина Х, с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением s . В специальную команду нужно отобрать призывников ростом от х₁ до х₂ сантиметров. Определить: а) вероятность того, что наудачу взятый призывник попадёт в специальную команду; б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х–а окажется меньше d; в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого роста призывника.

а	s	х1	х2	d

Решение. а) Для нормально распределённой случайной величины

б)

с) По правилу трёх сигм наименьшая граница , наибольшая . Таким образом, .

Наименьшая граница 150 см, наибольшая 210 см.

Пример 8.Задан закон распределения дискретной случайной величины. Найти:

1) значение параметра а;

2) математическое ожидание М(Х);

3) дисперсию D(Х).

Построить многоугольник распределения.

Х
р	0,2	0,1	0,3	0,2	а

Решение.

1)

2)

3)

4) многоугольник распределения:

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.

Требуется:

1) найти функцию плотности вероятности f(x);

2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

3) построить графики функций F(x) и f(x).

Решение:

1) ,

2) Найдём М(X) по формуле .

.

Дисперсию вычисляем по формуле

.

3) Построим графики функций и .

Пример 10.Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, Y) задан таблицей.

	Y
X
	1/18	1/12	1/36
	1/9	1/6	1/18
	1/6	1/4	1/12

Найти:

1) частные законы распределения случайных величин Х и Y;

2) математические ожидания М(Х) и М(Y);

3) дисперсии D(Х) и D(Y);

4) корреляционный момент C_xy;

5) коэффициент корреляции r_xy;

6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.

Решение:

1) частный закон распределения случайной величины Х:

проверка: верно.

хi
pi	1/6	1/3	1/2

частный закон распределения случайной величины Y:

проверка: верно.

yi
pi	1/3	1/2	1/6

2) Математические ожидания случайных величин X и Y:

3) Дисперсии D(Х) и D(Y):

,

.

4) Корреляционный момент C_xy:

.

5) коэффициент корреляции где

– среднеквадратические отклонения.

Так как у нас то и

6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.

Наименьшее значение при этом

По формуле находим:

Условный закон распределения

pi	1/6	1/3	1/2

Вопросы к экзамену

1. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися перемен­ными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли.

2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

3. Определитель Вронского. Свойства линейных однородных уравнений.

4. Структура общего решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

5. Неоднородное линейное уравнение второго порядка. Метод вариации произ­вольных постоянных.

6. Частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.