Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной

Лекция 7. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Основные свойства, таблица. Рассмотрение основных методов интегрирования.

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают: Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

2. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

3. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

4. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru где u, v, w – некоторые функции от х.

1. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример: Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.

Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому ниже приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций.

Интеграл Значение Интеграл Значение
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru -ln½cosx½+C Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru ex + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru ln½sinx½+ C Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru sinx + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru -cosx + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru tgx + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru -ctgx + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru ln Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru arcsin Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru + C
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru
Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru


Методы интегрирования.

Рассмотрим три основных метода интегрирования.

Непосредственное интегрирование.

Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru . На основе известной формулы дифференцирования Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru можно сделать вывод, что искомый интеграл равен Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

Способ подстановки (замены переменных).

Теорема: Если требуется найти интеграл Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла:

f(x)dx = f[j(t)]j¢(t)dt

что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана.

Пример. Найти неопределенный интеграл Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Замена Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Получаем:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru или Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Пример. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

Пример. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.

Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Лекция 7. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций. Интегрирование простейших рациональных функций. Метод неопределённых коэффициентов. Выделение целой части в неправильной рациональной дроби. Интегрирование простейших тригонометрических и иррациональных функций. Интегралы, зависящие от радикалов.

Определение: Элементарныминазываются дроби следующих четырех типов:

I. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru III. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

II. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru IV. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и b2 – 4ac <0.

Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

I. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

II. Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru . Сделаем следующее преобразование:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru .

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим: Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Для исходного интеграла получаем:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru .

Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Пример:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Теорема: Если Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)a…(x - b)b(x2 + px + q)l…(x2 + rx + s)m ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Т.к. ( Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , то

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Итого:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru 6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru 3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3

3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

- 2x + 6

-2x + 6

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Окончательно получаем:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru = Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Найдем неопределенные коэффициенты:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Тогда значение заданного интеграла:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интегрирование некоторых тригонометрических

функций.

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Тогда Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Таким образом: Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Функция Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru если

функция R является нечетной относительно sinx.

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Итого Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

Интеграл вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru где n- натуральное число.

С помощью подстановки Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru функция рационализируется.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Тогда Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Определение: Биноминальным дифференциаломназывается выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1) Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , где l - общий знаменатель m и n.

2) Если Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , где s – знаменатель числа р.

3) Если Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru - целое число, то используется подстановка Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru , где s – знаменатель числа р.

Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.

Интегралы вида Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

1) Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

2) Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

3) Раздел 2. Интегральное исчисление функций одной переменной - student2.ru

Наши рекомендации