Раздел 3. Интегральное исчисление функции одной переменной

В результате изучения раздела студент должен:

знать:

¾ определение первообразной;

¾ определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;

¾ способы вычисления неопределенного интеграла;

¾ определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;

¾ способы вычисления определенного интеграла;

¾ понятие криволинейной трапеции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенного интеграла;

уметь:

¾ находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

¾ выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным условиям;

¾ вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

¾ находить площади криволинейных трапеций.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства.

Таблица интегралов.

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка .

Свойство первообразной.

Если F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x) в некотором промежутке Х, то найдется такое число С, что справедливо равенство: .

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .

Согласно определению, .

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: .
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: .
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
6. .

Таблица интегралов:

; (при п ¹ –1); ;

(при а > 0, a ¹ 0);

; ; ;

(при );

(при a ¹ 0);

;

;

(при a ¹ 0); .

Приемы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования, основанный на применении четвертого и пятого свойств неопределенного интеграла, называется методом разложения или методом непосредственного интегрирования.

Пример. Найдем:

1) , 2) ,

3) .

Решение.

1)Представим интеграл в виде суммы интегралов и, произведя вынесение коэффициентов за знак интеграла, сведем их к табличным:

2) Возведя в квадрат подынтегральное выражение, повторим операцию, рассмотренную в предыдущем примере:

3) Произведя почленное деление подынтегрального выражения на х³, получим:

Задание.Найти:

1)

_____________________________________________________________________________

Ответ: х² + С

2)

_____________________________________________________________________________

Ответ: - 3sinx + С

Метод замены переменной

Один из основных методов интегрирования – метод замены переменной (или метод подстановки), описывается следующей формулой:

.

Однако, новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала) на основании теоремы:

Теорема. Пусть F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). Тогда , где k и b – некоторые числа, причем k ¹ 0.

Пример.Найдем 1) , 2)

Решение.

1)

.

Так как аргумент экспоненты имеет сложный вид, введем новую переменную . Тогда

Произведя подстановку, получим:

2) Так как аргумент подынтегральной функции имеет вид , где , то, применяя вышеназванную теорему, получим:

Задание.Найти

Решение. ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Интегрирование по частям*

Формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два множителя и и dv. При переходе к правой части первый их этих множителей дифференцируется, а второй интегрируется.

Пример. Найдем .

Решение.

Применим метод интегрирования по частям.

Положим, что . Тогда .

Подставляя выражения в вышеуказанную формулу, получим:

Задание*. Найти

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ:

Вопросы для самоконтроля

1. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

2. Если F(x) – первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

3. Как записать всю совокупность первообразных?

4. Что называется неопределенным интегралом?

5. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

6. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?

7. Как проверить результат интегрирования?

8. Какие вы знаете способы интегрирования и в чем они заключаются?

Контрольное задание

Найти интегралы:

1. 

__________________________________________________________________________

1. 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1. 

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4*.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определенный интеграл

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂,… и точек x₁, x₂,… Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у=f(x) на [a; b], обозначается , а сама функция у = f(x) называется интегрируемой на [a; b], т.е.

.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е.

.

4. Если на отрезке [a; b] f(x) £ g(x), то и £ .

5. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется такое значение x Î [a; b], что .

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) первообразная функцией для функции f(x) на отрезке [a; b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е. .

Пример.Вычислим следующие интегралы:

1) ; 2) .

Решение. Эти задачи на непосредственное применение формулы Ньютона – Лейбница:

1) ;

2)

Задание.Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 3.

Задание.Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: e - 1.

Метод замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , , и функция непрерывна в каждой точке вида , где . Тогда справедливо следующее равенство:

Данная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Как видите, использование введения новой переменной в определенном интеграле производится аналогично тому, как это производилось в неопределенном интеграле. Однако в этом случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной. Достаточно рассчитать и подставить новые пределы интегрирования.

Пример. Вычислим .

Решение.

Положим . Тогда . Вычислим значения новых пределов интегрирования, подставив в формулу новой переменной исходные значения пределов: , . Воспользовавшись формулой замены переменной в определенном интеграле, получим:

Задание. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: - 1.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле*

Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример.Вычислим .

Решение.

Пусть ,

Тогда и . Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в определенном интеграле, получим:

Вы заметили, что при расчете была введена переменная .

Задание *. Вычислить

Решение.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Ответ: 8ln4 – 4 - .