Ример. Реклама в журналах.

Название журнала	Y, тариф (одна страница цветной рекламы), дол.	X1, планируемая аудитория, тыс. человек	Х2, процент мужчин	Х3, медиана дохода семьи, дол
Audubon	25 315		51,1	38 787
Better Homes & Gardens	198 000	34 797	22,1
Business Week			68,1	63 667
Cosmopolitan		15 452	17,3	44 237
Elle	55 540		12,5	47 211
Entrepreneur	40 355	2 476	60,4	47 579
Esquire			71,3	44 715
Family Circle	147 500	24 539	13,0	38 759
first For Women	28 059	3 856	3,6	43 850
Forbes	59 340		68,8	66 606
Fortune		3 891	68,8	58 402
Glamour	85 080		7,8
Goff Digest		6 250	78,9
	Good Housekeeping	166 080	25 306	12,6	38 335
	Gourmet	49 640		29,6	57 060
	Harper's Bazaar	52 805	2 621	11,5	44 992
	Inc.	70 825		66,9
	Kiplinger's Personal Finance			65,1	63 876
	Ladies' Home Journal	127 000		6,8
	Life	63 750	14 220	46,9
	Mademoiselle	55 910		8,0
	Martha Stewart's Living	93 328	4 849	16,6
	McCalls			7,6	33 823
	Money	98 250		60,6
	Motor Trend	79 800	5 281	88,5	48 739
	National Geographic			53,0	44 326
	Natural History			45,0
	Newsweek	148 800	20 720	53,5	53 025
	Parents Magazine	72 820		18,2
	PC Computing	40 675		67,0	57 916
	People	125 000	33 668	34,0
	Popular Mechanics			86,9
	Reader's Digest			42,4	38 060
	Redbook	95 785	13 212	8,9	41 156
	Rolling Stone	78 920	8 638	59,8	43 212
	Runner's World	36 850	2 078	62,9	60 222
	Scientific American	37 500	2 704	70,0
	Seventeen	71 115	5 738	17,0	37 034
	Ski	32 480	2 249	64,5	58 629
	Smart Money	42 900	2 224	63,4
	Smithsonian	73 075	8 253	47,9
	Soap Opera Digest	35 070	7 227	10,3
	Sports Illustrated	162 000		78,8	45 897
	Sunset	56 000	5 276	38,7	52 524
	Teen	53 250	3 057	15,4
	The New Yorker	62 435	3 223	48,9
	Time	162 000	22 798	52,4
	True Story			12,2
	TV Guide			42,8	37 396
	U.S. News & World Report	98 644	9 825	57,5	52 018
	Vanity Fair	67 890	4 307	27,7
	Vogue	63 900		12,9	44 242
	Woman's Day	137 000	22 747	6,7
	Working Woman	87 500		6,3	44 674
	YM	73 270		14,4	43 696
	Среднее значение	83 534		39,7	47 710
	Среднеквадратичное отклонение			25,9	10 225

Тарифы на размещение рекламных объявлений в журналах определяются каждым журналом самостоя­тельно. Чем объясняются различия в тарифах? Возможно, здесь каким-то образом учитывается ценность рекламного объявления для рекламодателя. Журналы, располагающие большей читательской аудитори­ей (при равных прочих условиях), наверное, вправе устанавливать большие тарифы. Кроме того, журна­лы, рассчитанные на более состоятельные круги читателей, также вправе устанавливать более высокие тарифы. Несмотря то что наверняка имеются и другие, не менее важные факторы, мы ограничимся лишь указанными двумя, добавив к ним еще один — предпочтения людей разного пола, и выясним, изменяют ли журналы свои тарифы в зависимости от соотношения мужчин и женщин в их читательской аудитории. Ответы на некоторые из этих вопросов можно получить с помощью множественного регрессионного ана­лиза. Такой анализ поможет нам объяснить влияние на тарифы таких факторов, как величина читатель­ской аудитории, структура читательской аудитории по полу и доходы читателей.

В табл. 3 представлена соответствующая многомерная совокупность данных, которую нам предстоит проанализировать. В качестве переменной У (объясняемой) мы будем рассматривать стоимость одной страницы одноразовой полноцветной рекламы. Объясняющими переменными будут Х₁, читательская ау­дитория (планируемая в тысячах человек), Х₂, процент мужчин среди планируемой аудитории, и Х₃, ме­диана дохода семьи. Размер выборки n = 55.

В табл. 1 представлена компьютерная распечатка результатов анализа множественной регрессии. Например, с помощью Excel можно выполнить анализ множественной регрессии. Найдите пункт Data Analysis (Анализ данных) в меню Tools (Сервис) и выберите команду Regression (Регрессия). Если в меню Tools (Сервис) отсутствует пункт Data Analysis (Анализ данных), то сначала убеди­тесь, что вы выбрали ячейку электронной таблицы (а не график, например). Если вы все же не можете найти Data Analysis (Анализ данных), поищите пункт меню Add-Ins (Надстройки) и по­ставьте отметку возле Analysis ToolPak (Пакет анализа). Если это не поможет, то, видимо, необ­ходимо переустановить Excel.

Таблица 1. Результат множественной регрессионного анализа тарифов на размещение рекламы в журналах (вычисления сделаны в Excel)

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множествен. R	0,887
R-квадрат	0,787
Нормированный R-квадрат	0,775
Стандартная ошибка	21577,870
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия				62,843	0,000000
Остаток
Итого
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	4042,799	16884,039	0,239	0,812	-29853,298	37938,895
Переменная X 1	3,788	0,281	13,484	0,000	3,224	4,352
Переменная X 2	-123,634	137,849	-0,897	0,374	-400,377	153,108
Переменная X 3	0,903	0,370	2,442	0,018	0,161	1,645

Коэффициенты регрессии и уравнение регрессии

Сдвиг, или постоянный член, а, и коэффициенты регрессии, b₁, b₂, и b₃, вы­числяются компьютером с использованием метода наименьших квадратов.

Среди всех возможных вариантов уравнения регрессии с различными значениями этих коэффициентов именно уравнение, найденное таким методом, обеспечивает ми­нимальную сумму квадратов ошибок про­гнозирования для рассматриваемой нами выборки журналов. Уравнение регрессии (или уравнение прогнозирования) имеет следующий вид:

(прогнозируемый тариф на размещение рекламы) = а + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ =

= $4043 + 3,79(читательская аудито­рия) – 124(процент мужчин) + 0,903(медиана дохода).

Сдвиг, а = $4 043, интерпретируется сле­дующим образом: типичный тариф на раз­мещение одностраничного цветного реклам­ного объявления в журнале, у которого нет платных подписчиков, нет мужчин среди чи­тателей и читатели не имеют дохода, состав­ляет $4043. Однако в рассматриваемой нами совокупности данных нет подобных журналов, поэтому сдвиг, а, следует рас­сматривать лишь как вспомогательную величину, необходимую для получения оп­тимальных прогнозов, но не интерпретировать это значение так буквально.

Коэффициенты регрессии интерпретируются как влияние каждой из пере­менных на размер тарифа, если все другие независимые («объясняющие») пере­менные остаются неизменными. Часто это значение включает «поправку на» другие независимые переменные, или «контролирование» этих других независи­мых переменных. Поэтому коэффициент регрессии для конкретной X-переменной может изменяться (иногда значительно) в результате включения в анализ или исключения других Х- переменных. В частности, каждый коэффициент регрессии определяет среднее увеличение тарифа на размещение рекламы, приходящееся на единичное увеличение соответствующей ему Х- переменной (в данном случае термин «единичное» означает одну единицу измерения конкрет­ной Х- переменной).

Коэффициент регрессии для размера читательской аудитории, b₁=3,79, указы­вает, что – при всех прочих равных условиях – журнал с дополнительной тыся­чью читателей (поскольку у нас X₁измеряется в тысячах человек) берет (в сред­нем) на $3,79 больше за размещение одностраничного цветного рекламного объяв­ления. Можно также считать, что коэффициент регрессии для размера читательской аудитории означает, что каждый дополнительный читатель увеличи­вает для этого журнала тариф на размещение рекламных объявлений на $0,00379, т.е. увеличение составляет чуть меньше половины цента на одного человека. По­этому, если у какого-то другого журнала такой же процент читателей-мужчин и такой же показатель медианы дохода семьи читателей, но читательская аудитория на 3548 человек больше, то можно ожидать, что тариф на размещение рекламных объявлений в этом журнале будет (в среднем) на 3,79 × 3,548 = $13,45 больше благодаря такому отличию размера читательской аудитории.

Коэффициент регрессии для процента мужчин, b₂ = -124, указывает, что (при всех прочих равных условиях) тариф на размещение цветных рекламных объяв­лений в журнале с дополнительным 1% читателей-мужчин окажется (в среднем) на $124 меньше. Это означает, что читательницы представляют для журнала большую ценность, чем читатели-мужчины. Статистический вывод должен подтвердить или опровергнуть эту гипотезу путем сравнения величины влияния процента мужчин (т.е. -$124) с тем, на что можно было бы рассчитывать, если бы при данных обстоятельствах все определялось лишь чистой случайностью.

Коэффициент регрессии для медианы дохода, b₃ = 0,903, указывает, что (при всех прочих равных условиях) в журнале с дополнительным долларом медианы дохода его читателей тариф на размещение одностраничного цветного рекламно­го объявления будет (в среднем) на $0,903 больше. Положительный знак этого коэффициента совершенно оправдан, поскольку люди с более высоким уровнем доходов могут позволить себе тратить больше на покупку рекламируемой про­дукции. Если у какого-то другого журнала такой же процент читателей-мужчин и такая же величина читательской аудитории, но медиана дохода семей читате­лей на $4 000 выше, то можно ожидать, что тариф этого журнала на размеще­ние рекламных объявлений будет на 0,903 × 4000 = $3612 выше (в среднем) благодаря более высокому уровню доходов его читателей.

Помните, что коэффициенты регрессии отражают влияние на Y одной X- переменной при условии, что все другие Х- переменные остаются неизменными. Это следует понимать буквально.

Например, коэффициент регрессии b₃ отражает влияние медианы дохода читателей на рекламные тарифы; он вычисляется при неизменных величинах читательской аудитории и процента читателей-мужчин. В таком случае более высокие уровни доходов читателей, как правило, ведут к установлению более высоких тарифов на размещение рекламных объявлений (поскольку b₃является положительным числом) – при фиксированных размере читательской аудитории и проценте читателей-мужчин.

Какой была бы эта взаимосвязь, если бы остальные переменные (размер чита­тельской аудитории и процент читателей-мужчин) не фиксировались на посто­янном уровне? На этот вопрос можно ответить, проанализировав обычный коэф­фициент корреляции (или коэффициент регрессии, прогнозирующий Y на осно­вании только одной этой Х- переменной), вычисленный только для двух переменных: тарифа и медианы дохода. В нашем случае более высокое значение медианы дохода фактически ассоциируется с более низким тарифом (корреляция тарифа и медианы дохода является отрицательной: -0,167)! Чем это объяснить? Вполне приемлемое объяснение заключается в том, что журналы, ориентирую­щиеся на читателей с более высоким средним уровнем доходов, не в состоянии обеспечить себе массовую аудиторию из-за того, что богатых людей среди насе­ления страны в целом не так уж много. Если же эта читательская аудитория бо­гатых людей окажется очень небольшой, это может вообще исказить эффект влияния высокого уровня доходов в расчете на одного читателя.

Прогнозы

Уравнение прогнозирования, или уравнение регрессии, определяется в сле­дующем виде:

прогнозируемое значе­ние Y = а + b₁X₁ + b₂X₂ + ... + b_kX_k ,

В нашем примере с рекламными объявлениями в журналах, чтобы найти прогнозируемую величину тарифа на размещение рекламных объявлений исходя из величины читательской аудитории, процента читателей-мужчин и медианы дохода читателей для конкретного журнала, подобного тем, которые составляют рассматриваемую нами выборку данных, подставим в уравнение прогнозирова­ния соответствующие этому журналу значения Х- переменных:

(прогнозируемый тариф на размещение рекламы) = а + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ =

= $4043 + 3,79(читательская аудито­рия) – 124(процент мужчин) + 0,903(медиана дохода).

Допустим, например, что вы собираетесь основать новый журнал, «Популяр­ная статистика», который рассчитан на читательскую аудиторию порядка 900000 человек, 55% которых будут составлять женщины, а медиана дохода его читателей равна $50000. Данные в уравнение прогнозирования необходимо под­ставить в той же форме, что и в исходной совокупности данных (т.е. той, исходя из которой и строилось уравнение регрессии): X₁ = 900 (читательская аудитория в тысячах человек), X₂ = 45 (процент мужчин) и X₃ = $50000 (медиана дохода). Прогнозируемое значение для этой ситуации определяется следующим образом:

прогнозируемый тариф на размещение рекламы в журнале «Популяр­ная статистика» =

= 4043 +3,79(читательская аудитория) –124(процент мужчин) +0,903(медиана дохода) =

= 4043 + 3,79 ´ 900 – 124 ´ 45 + 0,903 ´ 50000 = $47024.

Разумеется, рассчитывать на то, что тариф на размещение рекламы в журна­ле составит ровно $47024, не приходится. Во-первых, даже между журналами, данными о которых мы располагаем, наблюдаются случайные колебания, поэто­му прогнозы не являются идеальными даже для них. Во-вторых, прогнозы могут быть полезны лишь в той мере, в какой прогнозируемый журнал подобен жур­налам, принадлежащим к исходной совокупности данных. Если речь идет о но­вом журнале, то тариф на размещение рекламы в этом журнале может опреде­ляться не так, как для журналов с уже устоявшейся репутацией, которые мы использовали для построения уравнения регрессии.

С помощью этого уравнения можно также прогнозировать тарифы для жур­налов, принадлежащих к исходной совокупности данных. У первого журнала, «Audubon» X₁ = 1645 (читательская аудитория равна примерно 1,6 миллиона че­ловек), X₂ = 51,1 (т.е. 51,1% читателей этого журнала — мужчины) и X₃ = 38787 (медиана годового дохода читателей этого журнала составляет $38787). Прогнозируемое значение для этого журнала можно найти по следую­щей формуле:

прогнозируемый тариф на размещение рекламы в журнале «Audubon» =

= 4043 +3,79(читательская аудитория) –124(процент мужчин) +0,903(медиана дохода) =

= 4043 + 3,79 ´ 1 645 – 124 ´ 51,1 + 0,903 ´ 38787 = $38966.

Остаток, или ошибка прогнозирования, определяется по формуле: Y–(прогнозируемое значение Y).

Для журнала, принадлежащего к исходной сово­купности данных, этот показатель равняется фактическому тарифу минус про­гнозируемый тариф. Для журнала «Audubon» фактический тариф составляет $25315, а прогнозируемый тариф – $38966. Таким образом, ошибка прогно­зирования равна 25315 – 38966 = –$13651. Отрицательный остаток указывает на то, что фактический тариф меньше прогнозируемого (в случае журнала Audu­bon примерно на $14000). Для многих из нас $14000 – огромные деньги; не­плохо бы взглянуть на другие ошибки прогнозирования, чтобы понять, в какой мере прогнозирование отражает реальную ситуацию. Почему рекламные тарифы в журнале Audubon оказались намного меньше их ожидаемой величины? Скорее всего, потому, что для прогнозирования использовалось лишь k = 3 из множест­ва возможных факторов, влияющих на величину рекламных тарифов (к тому же многие из этих факторов не очень понятны и их довольно сложно измерить).