Понятие степенного ряда

Важнейшие для практики функциональные ряды – это степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Понятие степенного ряда - student2.ru , (11)

где числа а0, а1, а2, ¼ – коэффициенты ряда;

Понятие степенного ряда - student2.ru – общий член степенного ряда (an ¹ 0).

Данный ряд называется степенным потому, что членами ряда служат степенные функции, показателями степеней которых являются целые неотрицательные числа.

Степенной ряд всегда сходится при х = 0.

Теорема Абеля. Если ряд (11) сходится при х = х00 ¹ 0), то он сходится абсолютно при любых значениях, для которых выполняется неравенство Понятие степенного ряда - student2.ru

Если ряд (11) расходится при Понятие степенного ряда - student2.ru то он расходится при любых значениях х, для которых выполняется неравенство Понятие степенного ряда - student2.ru

Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Число R – такое, что при Понятие степенного ряда - student2.ru ряд сходится, а при Понятие степенного ряда - student2.ru – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. При x = –R, x = R ряд может как сходится, так и расходится.

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле

Понятие степенного ряда - student2.ru (12)

Пример 15. Найти радиус, интервал, область сходимости степенного ряда Понятие степенного ряда - student2.ru .

Решение

1. n-й член данного степенного ряда равен Понятие степенного ряда - student2.ru n + 1-й член данного степенного ряда равен Понятие степенного ряда - student2.ru

Коэффициенты при n-м и n+1-м членах ряда соответственно равны Понятие степенного ряда - student2.ru Понятие степенного ряда - student2.ru По формуле (12) находим радиус сходимости

Понятие степенного ряда - student2.ru

Таким образом, радиус сходимости: R = 1.

2. Интервал сходимости будет иметь вид (–1; 1).

3. Найдем область сходимости, для этого исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при x = –1 и x = 1.

При x = –1 получим числовой ряд с общим членом Понятие степенного ряда - student2.ru Это знакочередующийся ряд. Для его сходимости применим признак Лейбница: если n = 1, то Понятие степенного ряда - student2.ru если n = 2, то Понятие степенного ряда - student2.ru если n = 3, то Понятие степенного ряда - student2.ru

Члены данного числового ряда убывают по абсолютной величине

Понятие степенного ряда - student2.ru ,

следовательно, первое условие признака Лейбница выполняется.

Проверим выполнение второго условия признака Лейбница

Понятие степенного ряда - student2.ru

Общий член с возрастанием номера n стремится к нулю, следовательно, второе условие признака Лейбница выполняется.

Таким образом, согласно признаку Лейбница ряд сходится и значение x = –1 надо включить в интервал сходимости.

При x = 1 получим числовой ряд с общим членом Понятие степенного ряда - student2.ru Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, значение x = 1 не включаем в интервал сходимости.

Таким образом, область сходимости данного степенного ряда имеет вид [–1; 1).

Тест 15. Степенной ряд задан формулой общего члена Понятие степенного ряда - student2.ru Коэффициент при n-м члене равен:

1) Понятие степенного ряда - student2.ru

2) Понятие степенного ряда - student2.ru

3) Понятие степенного ряда - student2.ru

4) Понятие степенного ряда - student2.ru

5) Понятие степенного ряда - student2.ru

Тест 16.При x = 0 степенной ряд Понятие степенного ряда - student2.ru an ¹ 0:

1) сходится;

2) расходится;

3) вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Тест 17.Если ряд Понятие степенного ряда - student2.ru сходится при Понятие степенного ряда - student2.ru ( Понятие степенного ряда - student2.ru ), то он сходится абсолютно при любых значениях x, для которых выполняется неравенство:

1) Понятие степенного ряда - student2.ru

2) Понятие степенного ряда - student2.ru

3) Понятие степенного ряда - student2.ru

4) Понятие степенного ряда - student2.ru

Тест 18.Если ряд Понятие степенного ряда - student2.ru расходится при Понятие степенного ряда - student2.ru то он расходится при любых значениях x, для которых выполняется неравенство:

1) Понятие степенного ряда - student2.ru

2) Понятие степенного ряда - student2.ru

3) Понятие степенного ряда - student2.ru

4) Понятие степенного ряда - student2.ru

Тест 19.Радиус сходимости степенного ряда Понятие степенного ряда - student2.ru an ¹ 0, вычисляется по формуле:

1) Понятие степенного ряда - student2.ru

2) Понятие степенного ряда - student2.ru

3) Понятие степенного ряда - student2.ru

4) Понятие степенного ряда - student2.ru

5) Понятие степенного ряда - student2.ru

Тест 20.Степенной ряд задан формулой общего члена Понятие степенного ряда - student2.ru Радиус сходимости данного ряда равен:

1) Понятие степенного ряда - student2.ru

2) Понятие степенного ряда - student2.ru

3) Понятие степенного ряда - student2.ru

4) Понятие степенного ряда - student2.ru

5) Понятие степенного ряда - student2.ru

Тест 21.Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен
R = 5, тогда интервал сходимости имеет вид:

1) (–5; 5);

2) (–5; 0);

3) (5; 0);

4) (–5; 0) È (0; 5);

5) (–¥; 0) È (5; ¥).

Тест 22.Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при x = –5 соответствующий числовой ряд сходится, а при x = 5 – расходится. Тогда область сходимости имеет вид:

1) (–5; 5);

2) [–5; 5);

3) [–5; 5];

4) (–5; 5];

5) (–¥; –5).

Тест 23.Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 соответствующий числовой ряд расходится, а при х = 5 – сходится. Тогда область сходимости имеет вид:

1) (–5; 5);

2) [–5; 5);

3) [–5; 5];

4) (–5; 5];

5) (–¥; –5).

Тест 24.Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды сходятся. Тогда область сходимости имеет вид:

1) (–5; 5);

2) [–5; 5);

3) [–5; 5];

4) (–5; 5];

5) (–¥; –5).

Тест 25.Интервал сходимости некоторого степенного ряда имеет вид (–5; 5). Причем, при х = –5 и х = 5 соответствующие числовые ряды расходятся. Тогда область сходимости имеет вид:

1) (–5; 5);

2) [–5; 5);

3) [–5; 5];

4) (–5; 5];

5) (–¥; –5).

Пример 16.Найти область сходимости степенного ряда

Понятие степенного ряда - student2.ru .

Решение

Общий член данного ряда равен Понятие степенного ряда - student2.ru Понятие степенного ряда - student2.ru Коэффициенты при n-м и n +1-м членах ряда соответственно равны Понятие степенного ряда - student2.ru Понятие степенного ряда - student2.ru По формуле (12) находим радиус

Понятие степенного ряда - student2.ru

Таким образом, радиус сходимости: R = ¥.

Интервал сходимости: (–¥; ¥).

Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 17.Найти область сходимости степенного ряда

Понятие степенного ряда - student2.ru .

Решение

Общий член данного ряда равен Понятие степенного ряда - student2.ru Коэффициенты при n-м и n +1-м членах ряда соответственно равны an = n!; an = (n + 1)!. По формуле (12) находим радиус

Понятие степенного ряда - student2.ru

Таким образом, радиус сходимости: R = 0.

Следовательно, ряд сходится только в одной точке x = 0.

Тест 26.Радиус сходимости степенного ряда Понятие степенного ряда - student2.ru равен R = 0. Тогда ряд сходится:

1) при х Î (–¥; +¥);

2) при х = 1;

3) при х Î (0; +¥);

4) только при х = 0;

5) при х Î (–¥; 0).

Тест 27.Радиус сходимости некоторого степенного ряда равен
R = ¥. Тогда ряд сходится:

1) при х Î (–¥; +¥);

2) при x = 1;

3) при х Î (0; +¥);

4) при x = 0;

5) при х Î (–¥; 0).

Наши рекомендации