Уточнение корней методом хорд

В отличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала. Название метода происходит из того, что конструируемые по ходу дела прямые являются хордами по отношению к графику функции.

Итак, пусть функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы о существовании корней непрерывной функции (см. с.5) и, тем самым, найден отрезок [a,b], содержащий по крайней мере один корень. Получим формулу для двухшагового метода хорд. Вычисляем значения функции на концах отрезка, и строим "хорду", соединяющую точки А(a,f(a)) и В(b,f(b)). В методе хорд процесс итераций состоит в том, что в качестве приближения к корню уравнения (1) принимают значение x0 точки пересечения хорды, соединяющей точки А(a,f(a)) и В(b,f(b)) c осью абсцисс. Уравнение хорды выписывается как каноническое уравнение прямой между этими точками:

Уточнение корней методом хорд - student2.ru ( 3)

Для точки пересечения с осью абсцисс x=x0, y=0 получим уравнение: Уточнение корней методом хорд - student2.ru Сравнивая знаки произведений f(a)×f(x0) и f(b)×f(x0), находим произведение, которое меньше 0, и сужаем интервал до [a,x0] или [x0 ,b]. Проводим соответствующие переобозначения концов отрезка. Продолжаем процесс построения хорд до тех пор, пока разница между очередными приближениями не окажется достаточно малой (в пределах допустимой погрешности)
|b-a|<e . Метод называется двухшаговым, так как для его реализации требуется не одно, а два начальных приближения (начало отрезка а и конец отрезка b).

На практике чаще применяется одношаговый метод хорд. Потребуем, чтобы функция f(x) удовлетворяла условиям следствия 3 теоремы о существовании корней непрерывной функции (см. с. 6). Также, как и выше, заменяем функцию f(x) на каждом шаге итерационного процесса поиска хордой, пересечение которой с осью абсцисс дает приближение корня x0. При этом в процессе поиска семейство хорд можно строить:

а) при фиксированном левом конце хорд;

б) при фиксированном правом конце хорд.

Метод обеспечивает быструю сходимость, если f(x0) × f ''(x) > 0, поэтому хорды
фиксируются на том конце интервала [a,b], где знаки функции и ее кривизны
совпадают.

Рассмотрим случай (рис.7), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки на [a,b], т.е. Уточнение корней методом хорд - student2.ru , "xÎ[a,b]. Это означает, что либо f '(x) > 0 и f ''(x) > 0, то есть функция возрастает и выпукла вниз на этом отрезке (рис.7 а)), либо f '(x) < 0 и f ''(x) < 0, то есть функция убывает и выпукла вверх на этом отрезке (рис.7 б)). В этом случае граница b зафиксирована, а x0=a. Пусть, далее, x1 - точка пересечения хорды (3) с осью Оx. Так как y = 0, то

Уточнение корней методом хорд - student2.ru

и x1 может считаться приближенным значением корня.

Уточнение корней методом хорд - student2.ru Уточнение корней методом хорд - student2.ru

a) б)

Рис. 7. Случай, когда Уточнение корней методом хорд - student2.ru

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1( x1,f(x1)) и B(b,f(b)), вычисляется следующее приближение корня:

Уточнение корней методом хорд - student2.ru

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

Уточнение корней методом хорд - student2.ru ( 4)

Другой случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. Уточнение корней методом хорд - student2.ru ,"xÎ[a,b] (рис.8). В этом случае, либо f '(x) < 0 и f ''(x) > 0, то есть функция убывает и выпукла вниз на этом отрезке (рис.8 а)), либо
f '(x) > 0 и f ''(x) < 0, то есть функция возрастает и выпукла вверх на этом отрезке (рис.8 б)). Тогда все приближения к корню x=v выполняются со стороны правой границы отрезка [a,b] (конец а неподвижен, рис.8) и вычисляются по формуле (5):

Уточнение корней методом хорд - student2.ru ( 5)

Уточнение корней методом хорд - student2.ru Уточнение корней методом хорд - student2.ru

a) б)

Рис. 8. Случай, когда Уточнение корней методом хорд - student2.ru

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции f(x) и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка [a,b] изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (4) используется в том случае, когда Уточнение корней методом хорд - student2.ru . Если справедливо неравенство Уточнение корней методом хорд - student2.ru , то целесообразно применять формулу (5).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень x* с заданной степенью точности e. В качестве приближенного значения корня следует взять x*= xn . Реализация алгоритма метода хорд представлена на блок-схеме в прил.2. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Уточнение корней методом хорд - student2.ru

Если обозначить через m наименьшее значение |f '(x)| на промежутке [a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки точности вычисления корня:

Уточнение корней методом хорд - student2.ru или Уточнение корней методом хорд - student2.ru

где e - заданная погрешность вычислений.

Наши рекомендации