Определение деформаций балок переменного сечения

При определении прогибов и углов поворота для балок с переменным сечением надлежит иметь в виду, что жесткость такой балки является функцией от х. Поэтому дифференциальное уравнение изогнутой оси принимает вид

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

где J(x) — переменный момент инерции сечений балки.

До интегрирования этого уравнения можно выразить J(x) надлежащей подстановкой через J, т. е. через момент инерции того; сечения, где действует Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru ; после этого вычисления производятся так же, как и.для балок постоянного сечения.

Покажем это на примере, разобранном выше. Определим прогиб балки равного сопротивления, защемленной одним концом, нагруженной на другом конце силой Р и имеющей постоянную высоту. Начало координат выберем на свободном конце балки.

Тогда

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Дифференциальное уравнение принимает вид:

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Интегрируем два раза:

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Для определения постоянных интегрирования имеем условия: точке А при Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru прогиб Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru и угол поворота Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru или

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru и Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

отсюда

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru и Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Выражения для у и Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru принимают вид;

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Наибольший прогиб на свободном конце балки В получится при Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru : он равен

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то наибольший прогиб был бы

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

т. е. в 1 Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru раза меньше.

Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по сравнению с балками постоянной жесткости при одинаковой с ними прочности. Именно поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких конструкциях, как рессоры.

Лекция № 31. Расчет балки на упругом основании.

Общие понятия.

К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru ... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru (1)

где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru

Тогда

Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru (2)
Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru (3)

Если обозначить Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru (25.4)

Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина Определение деформаций балок переменного сечения - student2.ru имеет измерение обратное длине.

Наши рекомендации