Рациональные алгебраические дроби

Комплексные числа

1.1 Множество C комплексных чисел

Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чисел, R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru - совокупность всевозможных упорядоченных пар Рациональные алгебраические дроби - student2.ru вещественных чисел. Произ- вольный элемент Рациональные алгебраические дроби - student2.ru множества R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru обозначим через z: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru R, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru R.

Два элемента Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru множества Рациональные алгебраические дроби - student2.ru считаем равными, если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru : Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре Рациональные алгебраические дроби - student2.ru элементов из R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ставится в соот- ветствие некоторый третий элемент этого множества.

Элемент, который паре Рациональные алгебраические дроби - student2.ru сопоставляет операция сложения, назовем суммой элементов Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и обозначим через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Элемент, который паре Рациональные алгебраические дроби - student2.ru сопоставляет операция умножения, назовем произведением элементов Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и обозначим через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru или Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Сумму и произведение элементов Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru определим с помощью следующих равенств:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru (1)

Множество всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , на котором указанным выше способом введены операции сложения и умножения называ- ют множеством комплексных чисел и традиционно обозначают буквой C. Элементы множества Cназывают комплексными числами.

Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции обладают свойс- твами, аналогичными свойствам сложения и умножения вещественных чисел:

1.(Коммутативность) Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

2.(Ассоциативность) Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

3.(Дистрибутивность) Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Наименования операций над комплексными числами – сложение и умножение - обьясняются этими аналогиями.

Таким образом, комплексное число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru C, представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Первое число x пары Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют вещест- венной частью комплексного числа z и обозначают через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , второе число y этой пары называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пусть мнимые части чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru равны нулю: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Тогда из (1) получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Заметим, что сложение и умножение комплексных чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , мнимые части которых равны нулю, сводятся соответственно к сложению и умножению их вещественных частей. Это обстоятельство позволяет отождествить комплексное число вида Рациональные алгебраические дроби - student2.ru с вещественным числом x, т.е., считать, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru = x. Особо отметим равенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ,а также справедливость следующего утверждения: пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; равенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru имеет место тогда и только тогда, когда х= Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и у= Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Комплексное число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , мнимая часть y которого отлична от нуля, назы- вают мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо вещественным, либо мнимым.

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Остановимся на геометрических ин- терпретациях множества C . Как известно, геометрической интерпретацией множества R Рациональные алгебраические дроби - student2.ru является плоскость с введенной на ней декартовой прямоугольной системой коор- динат: упорядоченная пара Рациональные алгебраические дроби - student2.ru изобража- ется точкой плоскости с абсциссой x и орди- натой y. Эту же точку плоскости считают изображением комплексного числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Когда точки плоскости рассматривают как изображения комплексных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множества С и называют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс; поэтому ее называют веще- ственной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , изобража- ются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комплексной плоскости (рис. 1).

Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси есть x и y соответственно. В частности, в качестве изображения числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru может выступать радиус-вектор точки с абсциссой x и ординатой y ( рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например, при геометриче- ской интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).

1.2.Алгебраическая форма комплексного числа.

Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквой i : i = Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Это название связано с равенством Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Действительно, вычислив произведение Рациональные алгебраические дроби - student2.ru в соответ- ствии со вторым из равенств (1) получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – некоторое комплексное число. Используя (1), нетрудно убе- диться в справедливости равенства Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Но Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; поэтому равенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru можно переписать так: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Правую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплексного числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пусть заданы комплексные числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Из равенств (1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записанных в алгеб- раической форме: если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (2)

Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещест- венными числами.

4. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Запишем числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и z в алгебраической форме: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Из (1) получим: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Доказательство второго равен- ства аналогично. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

5. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – некоторые комплексные числа. Для того, чтобы произве- дение Рациональные алгебраические дроби - student2.ru было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из мно- жителей Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru был равен нулю:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Необходимость. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Покажем, что если один из множителей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; покажем, что тогда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Действительно, запишем эти числа в алгебраической форме: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Из (1) имеем: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Отсюда сле- дует, что числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru удовлетворяют однородной системе

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Определитель D этой системы отличен от нуля: так как Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Значит, система имеет только нулевое решение: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; поэтому Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Следовательно, из Рациональные алгебраические дроби - student2.ru вытекает, что либо Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , либо Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Достаточность очевидна в силу свойства 4. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

6. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – комплексные числа. Тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Û Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Отсюда:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Пусть z Î C. Число (–1) z обозначают через –z и называют числом, проти- воположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа противоположного z равна нулю: "z Î Cz + (–z) = 0.

Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – заданные числа; разностью чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют число z такое, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; разность чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru обозначают через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Запишем Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и z в алгебраической форме: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Имеем:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Отсюда:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , так что к правилам сложения и умножения (2) можно добавить правило вычитания:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (3)

Заметим, что равенства (2) и (3) можно получить складывая, перемножая и вычитая двучлены Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru по правилам алгебры, известным из школьных учебников; при перемножении этих двучленов используется равенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Следовательно, складывая, вычитая, умножая, возводя в натуральную степень комп- лексные числа, записанные в алгебраической форме, можно руководствоваться правилами алгебры, изложенными в школьных учебниках, учитывая при этом значения степеней числа i: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и т. д. В частности, можно применять формулы сокращенного умножения.

Пример 1. Найдём алгебраическую форму числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru запишем в виде двучлена Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и воспользуемся формулой Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – комплексные числа, причем Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; частным чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют число z такое, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; обозначают это число символами Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Запишем числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и z в алгебраической форме: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; тогда из Рациональные алгебраические дроби - student2.ru следует: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Эти два равенства рассмотрим как систему двух линейных относительно x и y уравнений. Определитель D этой системы равен Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; так как Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . .Таким образом,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (4) Выполняя деление Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru на Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , обычно прибегают к следующему приему: числитель и знаменатель дроби Рациональные алгебраические дроби - student2.ru умножают на двучлен Рациональные алгебраические дроби - student2.ru (число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют сопряженным числу Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , см. ниже 1.7) :

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пример 2. Вычислить Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Имеем:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru В заключение этого пункта оста- новимся на геометрической интерпрета- ции суммы Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и разности Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Будем изображать комплексные числа векторами, лежащими на комплексной плоскости. Число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru изобразит- ся радиусом-вектором точки Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – радиусом-вектором точки Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru изобразится вектором, проекции которого на оси равны Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Из векторной алгебры известно, что такой вектор является суммой векторов Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , т.е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ( рис. 2). Разность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru представлена на этом рисунке разностью радиусов-векторов точек Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , т.е. второй диагональю параллелограмма.

1.3.Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют вещественное число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Модуль числа z обозначаем через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; таким образом, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Если z является вещественным числом, т.е., если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , его модуль совпадает с абсолютной величиной числа x: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Геометрический смысл модуля числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru очевиден: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru есть расстояние от начала координат до точки Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , изображающей число z, или длина вектора, проекции которого на оси есть x и y.

Замечание 1. Разность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru изображается вектором, начало которого есть точка Рациональные алгебраические дроби - student2.ru комплексной плоскости, а концом является Рациональные алгебраические дроби - student2.ru (рис.2); значит, модуль разно- сти, число | Рациональные алгебраические дроби - student2.ru |, есть длина этого вектора, т.е. расстояние между точками комплекс- ной плоскости Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Отметим рядсвойств модуля. Они аналогичны свойствам абсолютной величины вещественного числа.

1. Для всякого z Î C его модуль Рациональные алгебраические дроби - student2.ru есть неотрицательное число, причем Рациональные алгебраические дроби - student2.ru тогда и только тогда, когда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

2. Для всякого z Î C Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Справедливость этих утверждений очевидна.

3. Для любых Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Запишем числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru в алгебраической форме: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; тогда (см. (2)):

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ;

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , и пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; тогда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . По доказанному выше, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; отсюда, поскольку здесь все числа вещественные, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

4. Для любых комплексных Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru справедливы неравенства

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Докажем сначала неравенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Справедливость его очевидна в случае Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Обо- значим: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Отсюда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; таким образом, сумма Рациональные алгебраические дроби - student2.ru является вещественным и притом положительным числом, в силу чего сумма Рациональные алгебраические дроби - student2.ru равна сумме вещественных частей слагаемых Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru :

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Так как Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , можем записать: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; эдесь зак- лючительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещественных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Таким образом, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , и так как (см. свойство 3) Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то окончательно получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Докажем неравенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Это неравенство очевидно, если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . По доказанному выше Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Значит,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Случай Рациональные алгебраические дроби - student2.ru рассматривается аналогично. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Замечание 2. Неравенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru назывют неравенством треуголь- ника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ( рис. 2).

Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – заданные комплексные числа; тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

1.4.Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая

форма комплексного числа

Аргументом комплексного числа z, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , называют вещественное число j такое, что

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , (5) где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Если некоторое число j удовлетво- ряет равенствам (5), то им удовлетворит и любое число вида j + 2kp, k Î Z, причем множество {j + 2kp}, где k принимает всевозможные целые значения, есть сово- купность всех чисел, удовлетворяющих (5). Таким образом, аргумент числа z имеет бесконечное множество значений, которые отличаются одно от другого слагаемым, кратным 2p. В дальнейшем через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числа z. Равенство Рациональные алгебраические дроби - student2.ru означает, что число j есть одно из значений аргумента числа z. Неравенства Рациональные алгебраические дроби - student2.ru означают, что в данном случае Рациональные алгебраические дроби - student2.ru есть то единственное значение аргумента z, которое лежит на промежутке Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; иногда такое число называют главным значением аргумента z.

Геометрически число j , удовлетворяющее условиям (1), есть угол между поло- жительным направлением вещественной оси и вектором z . Если j Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , угол отсчиты- вается от вещественной оси против часовой стрелки, если же j < 0 – угол отсчитыва- ется по часовой стрелке (рис.3).

Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – отличное от нуля комплексное число, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Учитывая равенства (5), можем записать:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Здесь Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ( Рациональные алгебраические дроби - student2.ru - одно из значений аргумента z, любое).

Выражение Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют тригонометрической формой числа z.

Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Имеем: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Отсюда: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , k Î Z.Взяв в качестве Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , например, число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , получим представ- ление числа z в тригонометрической форме, в котором явно фигурирует и модуль, и аргумеит z: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

1.5.Умножение и деление комплексных чисел, записанных

в тригонометрической форме

Пусть отличные от нуля комплексные числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru записаны в тригонометри- ческой форме:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (6)

Найдем тригонометрическую форму произведения Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Заметим, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; кроме того,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Отсюда:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , (7) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргумен- ты складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы получим одно из зна- чений Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ). Геометрически умножение числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru на число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru сводится к пово- роту вектора Рациональные алгебраические дроби - student2.ru на угол Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и к изменению длины этого вектора в Рациональные алгебраические дроби - student2.ru раз.

Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно устано- вить справедливость следующего утверждения: пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где n ³ 2, – заданные отличные от нуля числа, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , k = 1, 2, ¼ , n; тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , (8) где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , т.е. при перемножении n, n³2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Упражнение. Доказать равенство (8).

Найдем частное Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru заданы равенствами (6). Заметим (см. п.1.3), что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Кроме того,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Значит,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , (9) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делят- ся, а аргументы вычитаются (точнее: вычитая из аргумента числителя аргу- мент знаменателя, мы получим одно из значений аргумента частного).

Пример 4. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Найти Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Запишем заданные числа в тригонометрической форме:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Таким образом, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Теперь получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ;

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

1.6.Возведение в целую степень и извлечение корня

Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где r = | z |, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , и пусть n – натуральное число. Степень Рациональные алгебраические дроби - student2.ru представляет собой произведение n множителей: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; поэтому Рациональные алгебраические дроби - student2.ru можно вычислить по формуле (8) ; в рассматриваемом случае Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , y = = nj; поэтому

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (10)

Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z ¹ 0. По определению положим Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; и для всякого n, n Î N, по определению положим Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Заметим: если r = | z |, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , а n Î N, то

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Таким образом, равенство (10) справедливо при любых целых n. Это равенство называют формулой Муавра; его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , n Î Z. Заметим, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru равен Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то nj есть одно из значений Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Пусть заданы комплексное число a и натуральное число n, n ³ 2, и пусть комплексное число z удовлетворяет равенству Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Тогда z называют корнем степени n из числа a.

Если a = 0, то и z = 0 ( см. 1.2, свойство 5). Пусть a ¹ 0. Найдем модуль и аргумент числа z. Обозначим: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Из Рациональные алгебраические дроби - student2.ru следует Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , а из фор- мулы Муавра вытекает Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; значит, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ( это “арифметический ” корень: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ) . Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , j = argz. Тогда {y + 2kp}, где k Î Z, есть мно- жество всех значений аргумента a; поэтому число nj, будучи одним из значений Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , должно совпадать с одним из чисел указанного множества. Значит, найдется Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , такое, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; тогда

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (11)

Пусть k – любое целое число. Обозначим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рис. 4.

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru (12) По формуле Муавра получим: "k Î Z Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , так что каждое из чисел (12) является корнем степени n из a. С другой стороны, из (11) следует,что всякое число, явля- ющееся корнем степени n из a, содержится среди чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , k Î Z. , Значит, множест- во Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , k Î Z, есть множество всех значений корня степени n из a. Отметим, что в этом мно- жестве имеется всего n попарно различных чисел: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , очевидно, попарно различны, а всякое число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где k £ –1 или k ³ n, совпа- дает с одним из чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Таким образом, для вся- кого a Î C, a ¹ 0, имеется ровно n попарно различных значений корня степени n; эти значения можно найти, придавая в формуле (12) ин- дексу k значения 0, 1, 2, ¼ , n– 1. Точки комплексной плоскости, изображающие чис- ла Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru лежат на окружности радиуса Рациональные алгебраические дроби - student2.ru с центром в a = 0 и делят её на n равных дуг ( рис.4).

Иногда употребляют символ Рациональные алгебраические дроби - student2.ru для обозначения корня n-й степени из числа a; при a ¹ 0 этот символ имеет n различных значений.

Пример5. Положим a = 1 и вычислим корни степени n, где n –нату- ральное число, n ³ 2. Для a = 1 имеем: r = | a | = 1; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; значит,

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где k достаточно придавать значения 0, 1, ¼ , n – 1. Положив здесь n = 2 и k = 0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Положив n = 3 и k = 0, 1, 2, найдем три значения корня кубического из единицы:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.

1.7.Сопряженные комплексные числа

Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Обозначим через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru комплексное число такое, что Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Таким образом, если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , что обычно записывают в виде разности: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Каждое из чисел пары z и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют числом, сопряженным с другим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие числа z и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , располагают- ся симметрично относительно вещественной оси.

Справедливы следующие утверждения.

1. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

2 Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

3. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

4. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , то число – j является одним из значений аргумента Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

5. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

6. Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

7. Пусть Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , где Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru – комплексные числа; тогда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.

1.8.Сходящиеся последовательности комплексных чисел

Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплексных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и теорем теории последова- тельностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комп- лексных чисел. Последовательность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , ¼ , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ,.. обозначаем через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , иногда через Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Сформулированное ниже определение вполне аналогично определению предела последовательности вещественных чисел (гл. 1, п. 3.2).

Пусть заданы последовательность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , и комплексное число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Определение 1. Число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru называют пределом последовательности Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , если для любого положительного числа e существует натуральное число Рациональные алгебраические дроби - student2.ru такое, что все члены последовательности Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , номера k которых превышает Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , удовлетворяют нера- венству Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Если Рациональные алгебраические дроби - student2.ru является пределом последовательности Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , будем записывать: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru или Рациональные алгебраические дроби - student2.ru ; саму последовательность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru при этом будем называть схо- дящейся последовательностью. Будем также говорить, что последовательность Рациональные алгебраические дроби - student2.ru сходится или стремится к Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Таким образом, Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , если

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Рис. 5.

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . (13)

Замечание 1.Обозначим: Рациональные алгебраические дроби - student2.ru . Тогда Рациональные алгебраические дроби - student2.ru .

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru Заменив в (13) Рациональные алгебраические дроби - student2.ru на Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , получим:

Рациональные алгебраические дроби - student2.ru , а это значит, что последовательность вещест- венных чисел Рациональные алгебраические дроби - student2.ru является бесконечно ма- лой. Следовательно, утверждения Рациональные алгебраические дроби - student2.ru и Рациональные алгебраические дроби - student2.ru эквивалентны.◄

Наши рекомендации