Задания для самостоятельного решения. 1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите, что:
I уровень
1.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне докажите, что:
1) 2)
3) 4) .
1.2. Найдите предел функции в точке:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
II уровень
2.1. Найдите предел:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
2.2. Определите, является ли функция бесконечно малой или бесконечно большой при , если
1)
2)
3) .
Ш уровень
3.1. Пользуясь определением предела функции в точке по Гейне, докажите, что предел не существует:
1) 2)
3)
3.2. Вычислите пределы функций в точке.
1)
2)
3.3. Вычислите пределы при всех возможных значениях и .
1) ; 2) .
3.4. Вычислите
Первый и второй замечательные пределы
При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
(9)
Если при , то верна более общая формула первого замечательного предала:
(10)
Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .
Второй замечательный предел:
(11)
или
(12)
Если при , то обобщением формулы (11) является формула:
(13)
Если , то обобщением формулы (12) является:
(14)
Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа .
Для того чтобы использовать, например, формулу (13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчёркиванием):
1) 2)
3) 4)
5) , при .
Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.
Пример 1. Вычислить предел функции:
1) 2)
3) 4)
Решение. 1. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
.
Последний предел, согласно формуле (9), равен 1.
Так как при выражение также стремится к нулю, то, умножая числитель и знаменатель на 2 и используя первый замечательный предел, получим:
Следовательно .
2. При непосредственном вычислении предела получаем неопределённость вида
Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на и преобразуем его к виду, когда можно использовать первый замечательный предел (формула (10)):
3. Выделим целую часть в основании степени:
Так как при исходное выражение представляет собой неопределенность типа , то, используя второй замечательный предел (формула (13)), имеем:
4. В данном случае получаем неопределённость вида . Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (формула (14)). Получим:
Для вычисления применим первый замечательный предел:
Таким образом, получаем ответ:
Задания для самостоятельного решения
I уровень
1.1. Вычислите предел функции, используя первый замечательный предел:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) .
1.2. Вычислите предел функции, используя второй замечательный предел:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8) .
II уровень
2.1. Найдите предел функции:
1) 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6)
2.2. Найдите предел функции:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
8)
9)
10) .
Ш уровень
3.1. Найдите предел функции, сделав соответствующую замену переменной:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8) .
3.2. Вычислите пределы функций с помощью второго замечательного предела:
1) 2)
3) 4)