По подготовке к итоговой аттестации

Задача I.

Вычислить предел:

Решение:

Задача II.

Вычислить неопределённые интегралы:

Решение:

Полагая , получим:

Задача III.

Вычислить определённые интегралы:

Решение:

Интегрируем «по частям»:

Пусть , тогда ,

Имеем:

Интегрируем подстановкой.

Положим , тогда . Если , то ; если , то .

Поэтому

Заметим, что геометрически данный интеграл площадь круга:

Задача IV.

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

Решение:

в) В данном случае подынтегральная функция претерпевает разрыв в точке , лежащей внутри отрезка интегрирования .

Имеем:

Задача V.

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси кривой: .

Объём фигуры, образованной вращение кривой вокруг оси вычисляется по формуле:

Задача VI.

Решить дифференциальные уравнения:

Решение:

Рассмотрим 2 метода решения.

1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лангранжа). Решим сначала уравнение (линейное однородное уравнение).

Разделяя переменные, получаем:

Найдём решение исходного (линейного неоднородного) уравнения в виде , где - неизвестная функция, которую надо найти.

Имеем:

Подставим в исходное уравнение (линейное неоднородное).

Найденную функцию подставим в выражение и получим - общее решение исходного уравнения.

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . Получим - искомое частное решение.

2)

Метод подстановки (введение новых функций ). Пусть , где – неизвестные функции.

Имеем:

Поскольку одну из функций ( мы можем выбрать произвольно, положим

, при интегрировании мы опускаем модуль и , т.к. нас интересует только одна функция, обращающая в нуль второе слагаемое .

Итак,

Подставим найденное выражение для ; получаем:

Получено то же общее решение, что и методом вариации произвольной постоянной.

Это линейное уравнение первого порядка. Поэтому полагаем . Тогда . Подставляя выражение для и в данное уравнение, после группировки членов получим:

Выберем функцию так, чтобы выполнялось равенство

После распределения переменных это уравнение приме вид:

Почленное интегрирование дает

Подставив найденное выражение функции в равенство , получим .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Для нахождения функции разделяем переменные и интегрируем:

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:

Задача VII.

Решить дифференциальные уравнения:

Решение:

а) Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим соответственно на .

Характеристическое уравнение имеет вид:

Данное уравнение имеет комплексные корни:

так как , то

.

.

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющие вид , где - какой-либо многочлен степени .

Общее решение данного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения :

Частное решение следует искать в виде , где многочлен степени ; число может принимать три значения:

1. , если число не является корнем характеристического уравнения .

2. , если число является однократным корнем характеристического уравнения: .

3. , если число является двукратным корнем характеристического уравнения .

Составим характеристическое уравнение, заменив и соответственно на .

Характеристическое управление имеет корень кратности 2.

Общее решение линейного однородного уравнения найдём по формуле:

Подставив корень характеристического уравнения, получаем:

В исходном уравнении правая часть имеет вид:

, т.е.

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение данного линейного неоднородного уравнения ищется в виде .

Для наводнения постоянных находим первую и вторую производные от :

Подставляя в исходное уравнение ,

имеем .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

, из которой находим

Следовательно,

Общее решение уравнения .

в) Найти общие и частное решения дифференциального уравнения.

Найдём общее решение дифференциального уравнения.

Для этого составим характеристическое уравнение, заменив соответственно .

Характеристическое уравнение имеет корни

.

Общее решение линейного однородного уравнения найдем по формуле:

Подставив корни характеристического уравнения, получаем:

Так как – однородный корень характеристического уравнения, то частное решение данного линейного неоднородного уравнения ищется в виде:

Подставляя в исходное уравнение и имеем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему:

, из которой находим

Следовательно,

Общее решение уравнения

Найдём частное решение, удовлетворяющее условиям:

.

Дифференцируя , получим

Подставляя начальные условия в , получаем систему:

Отсюда

Искомое частное решение имеет вид

Задача VIII.

Определить область сходимости степенного ряда.

Решение:

Для ряда имеем

Найдём радиус сходимости ряда по формуле Д’Аламбера:

Следовательно, ряд обязательно абсолютно сходится, если:

Исследуем сходимость ряда на концах промежутка .

Если , то получаем ряд . Это гармонический ряд. Он расходится. Если , то получаем ряд .

Имеем знакочередующийся ряд

Применим признак Лейбница:

Ряд сходится, если , т.е. модуль общего члена убывает и стремится к нулю при .

1. , т.е. модуль общего члена ряда убывает.

2. , т.е. модуль общего члена стремится к нулю при .

Ряд сходится условно.

Область сходимости есть промежуток , сходимость на ( 1.2; 0.8) абсолютная.

V. ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Шипачев, В. С. Основы высшей математики. / В. С Шипачев. М.: Высшая школа, 1998.

2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2ч../ Письменный Д, Т. М.: Айрис-пресс, 2006. Ч.1,2.

3. Баврин, И.И. Высшая математика / Баврин И.И. М: Академия, Высшая школа, 2000.

4. Чвялева, М.Д. Методическое пособие по математике/Н.И.Чвялева. Екатеринбург: УрГЭУ, 2008.

Дополнительная

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. М.:ОНИКС XXI век: Мир и Образование, 2003. Ч. I.

2. Шипачев, B.C. Сборник задач по высшей математике. / В.С.Шипачев М.: Высшая школа,2006.

3. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. / Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н. и др. М.: Айрис-пресс, 2005.

4. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. / Лунгу К. Н., Письменный Д. Т., Федин С. Н. и др. М.: Айрис-пресс, 2006.

5. Практикум по высшей математике для экономистов / под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.