Правила дифференцирования функций
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА,
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,
НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
Учебно-методическое пособие
по специальным разделам высшей математики
Самара 2005
Составители: Л.В. Лиманова, Л.А. МУРАТОВА
УДК 517.531, 519.2
Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа.Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. Л.В. Лиманова,
Л.А. Муратова. Самара, 2005. 49 с.
Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ.
Ил. . Библиогр.: 6 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
В соответствии с программой курса высшей математики для 1 семестра СамГТУ пособие охватывает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление.
Пособие содержит тренировочный тест (стр.37) с типовыми задачами из указанных разделов.
Представлены подробные решения всех задач тренировочного теста, а также необходимый теоретический материал.
Пособие рекомендуется использовать для подготовки к экзамену по высшей математике. Внимательное изучение настоящего пособия позволит успешно справиться с этой задачей.
ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ
Задача 1.Найти сумму элементов 3-его столбца матрицы В, если
Решение. При умножении матрицы размера на матрицу размера получится матрица размера (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее, умножение матриц осуществляется по правилу: элемент матрицы , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-го столбца матрицы С. То есть, чтобы найти нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С:
Аналогично, находим
Тогда сумма этих элементов
Задача 2.Найти , если
.
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
Так как , то - существует. Обратную матрицу находим по схеме
Здесь - транспонированная матрица, получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы:
- союзная матрица, состоит из алгебраических дополнений элементов .
Найдем алгебраические дополнения элементов по формуле
где - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы .
Получим
Итак,
Наконец, находим обратную матрицу
Задача 3.Найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , если
Решение. Вычислим определитель матрицы А:
Запишем транспонированную матрицу
Так как надо найти сумму элементов 3-ей строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-ей строки матрицы :
Тогда элементы 3-ей строки матрицы :
Их сумма равна
Задача 4.Дана система уравнений
Найти
Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями
Найдем
- определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными
Чтобы найти , необходимо элементы 3-его столбца определителя заменить на столбец свободных членов системы:
Находим z:
Задача 5.Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:
Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.
|
Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей
~
Умножим 2-е уравнение на (-1):
|
Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым:
В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).
Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:
Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений
Задача 6. Найти
Решение. Воспользуемся формулой
где - скалярное произведение векторов и .
Вычислим :
Найдем модули векторов
Тогда
Задача 7.
Векторортогоналенвектору Найти
Решение.
Так как вектор ортогонален вектору ,то , и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:
С другой стороны
Итак,
и
Задача 8.
Найти ,если
Решение. Проекция вектора на вектор определяется по формуле
.
Найдем координаты вектора :
Вычислим скалярное произведение векторов и
и модуль вектора
Тогда
Задача 9.
Известно, что а угол между иравен Найти .
Решение.
Согласно определению векторного произведения имеет место формула
Тогда
Подставив исходные данные, получим
Задача 10.
Найти площадь треугольника с вершинами в точках
Решение.
Площадь треугольника, построенного на векторах и ,может быть найдена по формуле:
где
векторное произведение векторов и .
Примем , Вычислим координаты векторов и :
Найдем векторное произведение этих векторов
Тогда
Следовательно,
Задача 11.
Определить , при котором компланарны векторы и
Решение.
Условие компланарности трех векторов имеет вид
где -смешанное произведение векторов и - вычисляется по формуле
Подставляя исходные данные, получим
откуда
Задача 12.
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
Решение. Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида:
Вычислим смешанное произведение этих векторов
Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен
Задача 13.
Записать уравнение прямой, проходящей через точки
Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
Подставляя координаты точек А и В, получим
Задача 14.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости
Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора прямой можно взять нормальный вектор плоскости.
Тогда
Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором , имеет вид
получим
Задача 15.
Определить, при каких и параллельны прямые
и
Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов и
Подставляя координаты и получим
Тогда
Задача 16.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки имеет вид
Вычисляем определитель
и получаем уравнение плоскости
Задача 17.
Определить, при каком А прямая параллельна плоскости
Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости:
Применяя эту формулу для и получим
то есть
Задача 18.
Найти точку пересечения прямой
и плоскости
Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой
откуда
Найдем значение t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости
Подставляя в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости
Задача 19.
Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей
Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.
|
~
Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением. Получим
~
Разделим 2-е уравнение на (-4)
|
Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с первым уравнением
Запишем получившуюся систему уравнений:
Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z:
Обозначив , получим параметрические уравнения прямой:
Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой
Задача 20.
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно вектору
Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов:
Так как
то
Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид
, или
Задача 21.
Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые
Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим - направляющие векторы прямых, Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как получим
или
Задача 22.
Найти собственные значения матрицы
Решение. Собственные значения и матрицы А находим, решая характеристическое уравнение:
Задача 23.
Найти координаты вектора в базисе
Решение. При разложении вектора по базису , , необходимо представить в виде
Здесь - есть координаты вектора в базисе , .
Запишем это равенство в координатной форме
Оно равносильно системе уравнений
Решим систему, например, по формулам Крамера.
Тогда
Значит, координаты вектора в базисе ,
.
Задача 24.
Определить вид и расположение кривой
Решение.
Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y.
Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса
с полуосями и центром в точке
Задача 25.
Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами
Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид
Действительная полуось этой гиперболы . Найдем а из соотношения:
Так как и
Итак, искомое уравнение гиперболы
или
Задача 26.
Вычислить
Решение.
Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, то есть на
Так как при каждая из дробей , стремится к нулю, получим
Задача 27.
Вычислить
Решение.
При числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение:
Задача 28.
Вычислить
Решение.
В данном случае имеет место неопределенность вида так как при числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, то есть на
Задача 29.
Вычислить
Решение. При числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.
Так как при ~ , ~ , то ~ ~6x.
Теперь можно воспользоваться формулой
где
- бесконечно малые, причем ~ , ~ .
Тогда
Задача 30.
Вычислить
Решение.
Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела
В данном случае Поэтому
Задача 31.
Вычислить
Решение. При имеем неопределенность .
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
Так как , , имеем неопределенность , которую раскрываем по правилу Лопиталя:
Тогда
Так как получили неопределенность Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:
при ~х, ~х.
Тогда
Задача 32.
Найти
Решение.
Применяя формулы дифференцирования произведения и частного
получим
Подставим в производную
Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия.
Задача 33.
. Найти
Решение.
Применим правило дифференцирования сложной функции: если то
В данном случае
поэтому
Тогда
Задача 34.
Вычислить
Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:
Получившуюся функцию дифференцируем как сложную
Тогда
Задача 35.
Вычислить в точке
Решение. Преобразуем данную функцию
Вычислим частную производную , считая у константой:
Найдем , считая х константой:
Подставим вместо х и у координаты точки
Тогда
Задача 36.
Найти , если
Решение.
Функция задана в неявном виде – уравнением Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции:
Так как
то
Задача 37.
, где Найти при
Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции
где
имеем
Так как
то
Тогда
Задача 38.
Найти , если
Решение.
Функция заданапараметрически – уравнениями .
В этом случае можно воспользоваться формулой
Так как
то
Задача 39.
Найти асимптоты кривой
Решение.
Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.
Прямая является вертикальной асимптотой кривой если
Прямая является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы
Так как знаменатель дроби никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.
Ищем наклонные асимптоты:
Тогда наклонная асимптота имеет вид
Задача 40.
Найти интервалы убывания функции
Решение.
Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем
Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
- | |||||
Итак, функция убывает на интервале .
Задача 41.
Найти интервалы выпуклости функции
Решение.
Функция является выпуклой, если и вогнутой, если . Найдем
Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:
-3 | |||||||
- | + | - | |||||
Итак, функция выпукла при
|
Дана функция
Найти точки разрыва и установить их характер.
Решение. Функция называется непрерывной в точке , если определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем
Последнее равенство означает, что
Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода.
Если - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.
В том случае, когда - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:
устранимый, если
со скачком, если
(величина скачка ).
Рассмотрим заданную функцию при . Здесь Функция не определена в точке , значит в этой точке разрыв.
Вычислим односторонние пределы:
Итак, значит, при имеем устранимый разрыв I рода.
Если то Функция не определена в точке значит это точка разрыва.
Вычислим односторонние пределы.
Так как - точка разрыва II рода.
В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция меняет свой вид.
В этой точке функция определена:
Найдем односторонние пределы:
Итак, для точки односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком