Правила дифференцирования функций

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА,

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ,

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.

Учебно-методическое пособие

по специальным разделам высшей математики

Самара 2005

Составители: Л.В. Лиманова, Л.А. МУРАТОВА

УДК 517.531, 519.2

Линейная алгебра, аналитическая геометрия, начала математического анализа.Учебно-метод. пособ. по спец. главам высш. матем./ Самар. гос. техн. ун-т. Сост. Л.В. Лиманова,

Л.А. Муратова. Самара, 2005. 49 с.

Представлены задачи и их решения из следующих разделов курса высшей математики: линейная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ.

Пособие предназначено для студентов всех специальностей СамГТУ.

Ил. . Библиогр.: 6 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ

В соответствии с программой курса высшей математики для 1 семестра СамГТУ пособие охватывает такие разделы, как линейная алгебра, аналитическая геометрия, теория пределов, дифференциальное исчисление.

Пособие содержит тренировочный тест (стр.37) с типовыми задачами из указанных разделов.

Представлены подробные решения всех задач тренировочного теста, а также необходимый теоретический материал.

Пособие рекомендуется использовать для подготовки к экзамену по высшей математике. Внимательное изучение настоящего пособия позволит успешно справиться с этой задачей.

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Задача 1.Найти сумму элементов 3-его столбца матрицы В, если

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. При умножении матрицы размера Правила дифференцирования функций - student2.ru на матрицу размера Правила дифференцирования функций - student2.ru получится матрица размера Правила дифференцирования функций - student2.ru (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: Правила дифференцирования функций - student2.ru . Далее, умножение матриц осуществляется по правилу: элемент Правила дифференцирования функций - student2.ru матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-го столбца матрицы С. То есть, чтобы найти Правила дифференцирования функций - student2.ru нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Аналогично, находим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда сумма этих элементов

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 2.Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru , если

Правила дифференцирования функций - student2.ru.

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru , то Правила дифференцирования функций - student2.ru - существует. Обратную матрицу Правила дифференцирования функций - student2.ru находим по схеме

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Здесь Правила дифференцирования функций - student2.ru - транспонированная матрица, получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru - союзная матрица, состоит из алгебраических дополнений элементов Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Найдем алгебраические дополнения элементов Правила дифференцирования функций - student2.ru по формуле

Правила дифференцирования функций - student2.ru

где Правила дифференцирования функций - student2.ru - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак,

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Наконец, находим обратную матрицу

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 3.Найти сумму элементов 3-ей строки матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru , если

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Запишем транспонированную матрицу

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как надо найти сумму элементов 3-ей строки матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-ей строки матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru :

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда элементы 3-ей строки матрицы Правила дифференцирования функций - student2.ru :

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Их сумма равна Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 4.Дана система уравнений

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru - определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Чтобы найти Правила дифференцирования функций - student2.ru , необходимо элементы 3-его столбца определителя Правила дифференцирования функций - student2.ru заменить на столбец свободных членов системы:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Находим z:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 5.Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со вторым. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Умножим 2-е уравнение на (-1):

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с первым:

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 6. Правила дифференцирования функций - student2.ruНайти Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Воспользуемся формулой

Правила дифференцирования функций - student2.ru

где Правила дифференцирования функций - student2.ru - скалярное произведение векторов Правила дифференцирования функций - student2.ruиПравила дифференцирования функций - student2.ru .

Вычислим Правила дифференцирования функций - student2.ru :

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем модули векторов

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 7.

ВекторПравила дифференцирования функций - student2.ruортогоналенвектору Правила дифференцирования функций - student2.ruНайти Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Так как вектор Правила дифференцирования функций - student2.ruортогонален вектору Правила дифференцирования функций - student2.ru ,то Правила дифференцирования функций - student2.ru , и, значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

С другой стороны

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак,

Правила дифференцирования функций - student2.ruи Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 8.

НайтиПравила дифференцирования функций - student2.ru ,если Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Проекция вектора Правила дифференцирования функций - student2.ruна вектор Правила дифференцирования функций - student2.ruопределяется по формуле

Правила дифференцирования функций - student2.ru.

Найдем координаты вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru :

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Вычислим скалярное произведение векторов Правила дифференцирования функций - student2.ruиПравила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

и модуль вектораПравила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 9.

Известно, что Правила дифференцирования функций - student2.ru а угол между Правила дифференцирования функций - student2.ruиПравила дифференцирования функций - student2.ruравен Правила дифференцирования функций - student2.ru Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru.

Решение.

Согласно определению векторного произведения Правила дифференцирования функций - student2.ru имеет место формула

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставив исходные данные, получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 10.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Площадь треугольника, построенного на векторах Правила дифференцирования функций - student2.ruиПравила дифференцирования функций - student2.ru ,может быть найдена по формуле:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

где

Правила дифференцирования функций - student2.ru векторное произведение векторов Правила дифференцирования функций - student2.ruиПравила дифференцирования функций - student2.ru .

Примем Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru Вычислим координаты векторов Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru :

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем векторное произведение этих векторов

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Следовательно,

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 11.

Определить Правила дифференцирования функций - student2.ru , при котором компланарны векторы Правила дифференцирования функций - student2.ruи Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Условие компланарности трех векторов имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

где Правила дифференцирования функций - student2.ru -смешанное произведение векторов Правила дифференцирования функций - student2.ruи Правила дифференцирования функций - student2.ru - вычисляется по формуле

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставляя исходные данные, получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru откуда Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 12.

Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Найдем координаты векторов Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , на которых построена пирамида:

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Вычислим смешанное произведение этих векторов

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , равен

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 13.

Записать уравнение прямой, проходящей через точки Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки Правила дифференцирования функций - student2.ru имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставляя координаты точек А и В, получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 14.

Написать уравнение прямой, проходящей через точку Правила дифференцирования функций - student2.ru , перпендикулярно плоскости Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru прямой можно взять нормальный вектор Правила дифференцирования функций - student2.ru плоскости.

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку Правила дифференцирования функций - student2.ru с направляющим вектором Правила дифференцирования функций - student2.ru , имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 15.

Определить, при каких Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru параллельны прямые

Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности их направляющих векторов Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставляя координаты Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 16.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки Правила дифференцирования функций - student2.ru имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Вычисляем определитель

Правила дифференцирования функций - student2.ru

и получаем уравнение плоскости

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 17.

Определить, при каком А прямая Правила дифференцирования функций - student2.ru параллельна плоскости Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru прямой и нормального вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru плоскости:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Применяя эту формулу для Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru то есть Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 18.

Найти точку пересечения прямой

Правила дифференцирования функций - student2.ru

и плоскости Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru откуда Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем значение t, соответствующее точке пересечения прямой и плоскости, для чего подставим полученные выражения в уравнение плоскости

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставляя Правила дифференцирования функций - student2.ru в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 19.

Найти канонические уравнения прямой пересечения двух плоскостей

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.

-3
Составим расширенную матрицу системы уравнений

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением. Получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Разделим 2-е уравнение на (-4)

Правила дифференцирования функций - student2.ru

-3
Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~

Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с первым уравнением

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Запишем получившуюся систему уравнений:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Обозначив Правила дифференцирования функций - student2.ru , получим параметрические уравнения прямой:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Исключив параметр Правила дифференцирования функций - student2.ru , перейдем к каноническим уравнениям прямой

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 20.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Правила дифференцирования функций - student2.ru параллельно вектору Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Пусть Правила дифференцирования функций - student2.ru - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы Правила дифференцирования функций - student2.ru - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как

Правила дифференцирования функций - student2.ru

то

Правила дифференцирования функций - student2.ru Тогда уравнение искомой плоскости будет иметь вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru , или Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 21.

Составить уравнение плоскости, проходящей через прямые

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Пусть Правила дифференцирования функций - student2.ru - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим Правила дифференцирования функций - student2.ru - направляющие векторы прямых, Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов Правила дифференцирования функций - student2.ru где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru или Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 22.

Найти собственные значения матрицы

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Собственные значения Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru матрицы А находим, решая характеристическое уравнение:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 23.

Найти координаты вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru в базисе Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. При разложении вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru по базису Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , необходимо представить Правила дифференцирования функций - student2.ru в виде

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Здесь Правила дифференцирования функций - student2.ru - есть координаты вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru в базисе Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Запишем это равенство в координатной форме

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Оно равносильно системе уравнений

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решим систему, например, по формулам Крамера.

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Значит, координаты вектора Правила дифференцирования функций - student2.ru в базисе Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Задача 24.

Определить вид и расположение кривой

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y.

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса

Правила дифференцирования функций - student2.ru

с полуосями Правила дифференцирования функций - student2.ru и центром в точке Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 25.

Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Действительная полуось этой гиперболы Правила дифференцирования функций - student2.ru . Найдем а из соотношения:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru и Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак, искомое уравнение гиперболы

Правила дифференцирования функций - student2.ru или Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 26.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при Правила дифференцирования функций - student2.ru В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида Правила дифференцирования функций - student2.ru Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, то есть на Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как при Правила дифференцирования функций - student2.ru каждая из дробей Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru стремится к нулю, получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 27.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

При Правила дифференцирования функций - student2.ru числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида Правила дифференцирования функций - student2.ru Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 28.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

В данном случае имеет место неопределенность вида Правила дифференцирования функций - student2.ru так как при Правила дифференцирования функций - student2.ru числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, то есть на Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 29.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. При Правила дифференцирования функций - student2.ru числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.

Так как при Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~ Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru ~ Правила дифференцирования функций - student2.ru , то Правила дифференцирования функций - student2.ru ~ Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru ~6x.

Теперь можно воспользоваться формулой

Правила дифференцирования функций - student2.ru где

Правила дифференцирования функций - student2.ru - бесконечно малые, причем Правила дифференцирования функций - student2.ru ~ Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru ~ Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 30.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Это неопределенность Правила дифференцирования функций - student2.ru . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела

Правила дифференцирования функций - student2.ru

В данном случае Правила дифференцирования функций - student2.ru Поэтому

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 31.

Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. При Правила дифференцирования функций - student2.ru имеем неопределенность Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru , Правила дифференцирования функций - student2.ru , имеем неопределенность Правила дифференцирования функций - student2.ru , которую раскрываем по правилу Лопиталя:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru получили неопределенность Правила дифференцирования функций - student2.ru Её можно раскрыть, ещё раз применив правило Лопиталя, но проще использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых:

при Правила дифференцирования функций - student2.ru ~х, Правила дифференцирования функций - student2.ru ~х.

Тогда Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 32.

Правила дифференцирования функций - student2.ru Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Применяя формулы дифференцирования произведения и частного

Правила дифференцирования функций - student2.ru

получим

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставим в производную Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия.

Задача 33.

Правила дифференцирования функций - student2.ru . Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Применим правило дифференцирования сложной функции: если Правила дифференцирования функций - student2.ru то

Правила дифференцирования функций - student2.ru

В данном случае

Правила дифференцирования функций - student2.ru

поэтому Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 34.

Правила дифференцирования функций - student2.ru Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Получившуюся функцию дифференцируем как сложную

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 35.

Правила дифференцирования функций - student2.ru Вычислить Правила дифференцирования функций - student2.ru в точке Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Преобразуем данную функцию

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Вычислим частную производную Правила дифференцирования функций - student2.ru , считая у константой:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем Правила дифференцирования функций - student2.ru , считая х константой:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Подставим вместо х и у координаты точки Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 36.

Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru , если Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Функция Правила дифференцирования функций - student2.ru задана в неявном виде – уравнением Правила дифференцирования функций - student2.ru Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как

Правила дифференцирования функций - student2.ru

то

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 37.

Правила дифференцирования функций - student2.ru , где Правила дифференцирования функций - student2.ru Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru при Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции

Правила дифференцирования функций - student2.ru где Правила дифференцирования функций - student2.ru

имеем

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как

Правила дифференцирования функций - student2.ru то

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 38.

Найти Правила дифференцирования функций - student2.ru , если Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Функция Правила дифференцирования функций - student2.ru заданапараметрически – уравнениями Правила дифференцирования функций - student2.ru .

В этом случае можно воспользоваться формулой

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как

Правила дифференцирования функций - student2.ru

то

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 39.

Найти асимптоты кривой Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

Прямая Правила дифференцирования функций - student2.ru является вертикальной асимптотой кривой Правила дифференцирования функций - student2.ru если

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Прямая Правила дифференцирования функций - student2.ru является наклонной асимптотой кривой Правила дифференцирования функций - student2.ru если существуют конечные пределы

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как знаменатель дроби Правила дифференцирования функций - student2.ru никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.

Ищем наклонные асимптоты:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Тогда наклонная асимптота имеет вид

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Задача 40.

Найти интервалы убывания функции

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Функция Правила дифференцирования функций - student2.ru убывает, если Правила дифференцирования функций - student2.ru , и возрастает, если Правила дифференцирования функций - student2.ru Найдем Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru
Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru - Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru
Правила дифференцирования функций - student2.ru     Правила дифференцирования функций - student2.ru    

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак, функция убывает на интервале Правила дифференцирования функций - student2.ru .

Задача 41.

Найти интервалы выпуклости функции

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Решение.

Функция Правила дифференцирования функций - student2.ru является выпуклой, если Правила дифференцирования функций - student2.ru и вогнутой, если Правила дифференцирования функций - student2.ru . Найдем Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Определим знаки Правила дифференцирования функций - student2.ru , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:

Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru -3 Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru
Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru - Правила дифференцирования функций - student2.ru + Правила дифференцирования функций - student2.ru -
Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru   Правила дифференцирования функций - student2.ru Правила дифференцирования функций - student2.ru   Правила дифференцирования функций - student2.ru   Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак, функция выпукла при Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru
Задача 42.

Дана функция

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найти точки разрыва и установить их характер.

Решение. Функция Правила дифференцирования функций - student2.ru называется непрерывной в точке Правила дифференцирования функций - student2.ru , если Правила дифференцирования функций - student2.ru определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Последнее равенство означает, что

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции Правила дифференцирования функций - student2.ru . Различают точки разрыва I и II рода.

Если Правила дифференцирования функций - student2.ru - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен Правила дифференцирования функций - student2.ru , то это разрыв II рода.

В том случае, когда Правила дифференцирования функций - student2.ru - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:

устранимый, если Правила дифференцирования функций - student2.ru

со скачком, если Правила дифференцирования функций - student2.ru

(величина скачка Правила дифференцирования функций - student2.ru ).

Рассмотрим заданную функцию при Правила дифференцирования функций - student2.ru . Здесь Правила дифференцирования функций - student2.ru Функция не определена в точке Правила дифференцирования функций - student2.ru , значит в этой точке разрыв.

Вычислим односторонние пределы:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак, Правила дифференцирования функций - student2.ru значит, при Правила дифференцирования функций - student2.ru имеем устранимый разрыв I рода.

Если Правила дифференцирования функций - student2.ru то Правила дифференцирования функций - student2.ru Функция не определена в точке Правила дифференцирования функций - student2.ru значит это точка разрыва.

Вычислим односторонние пределы.

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Так как Правила дифференцирования функций - student2.ru - точка разрыва II рода.

В качестве точки, подозрительной на разрыв, следует рассмотреть Правила дифференцирования функций - student2.ru , так как при переходе через эту точку функция Правила дифференцирования функций - student2.ru меняет свой вид.

В этой точке функция определена:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Найдем односторонние пределы:

Правила дифференцирования функций - student2.ru

Итак, для точки Правила дифференцирования функций - student2.ru односторонние пределы конечны и различны, значит это разрыв I рода со скачком

Наши рекомендации