Модель Вейля евклидовой геометрии

Арифметизация трехмерного евклидова пространства.

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2. Эту модель будем обозначать e³ и называть евклидовым пространством.

Построим арифметическую или координатную модель евклидова пространства e³, используя координатную модель евклидова векторного пространства , построенную в § 3. Для этого введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,BÎe³ вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими основными свойствами.

Свойства операции откладывания вектора.

1. Для всякой фиксированной точки A₀Îe³ и произвольной точки BÎe³ отображение

(1)

является взаимно-однозначным отображением точек BÎe³ на множество векторов .

2.

(Аксиома треугольников). Для любых трех точек A,B,CÎe³ справедливо равенство

.

3. (Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки .

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки MÎe³ называют координаты радиус-вектора (рис.1) где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³, приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками MÎe³ и арифметически упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть = (u₁,v₁,w₁) и = (u₂,v₂,w₂) - направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁) (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)

Определение.

Арифметической, или координатной, моделью евклидова пространства e³ называется множество упорядоченных троек чисел, определяемых соответствием (2) вместе с формулами длины отрезка (З) и углов между направленными отрезками (4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R³.

Вывод 1.

Для построения модели требуется задать или построить:

· геометрическую модель трехмерного векторного пространства (модель направленных отрезков e³);

· изоморфную модель координатного векторного пространства Е³;

· операцию откладывания вектора (1);

· скалярное произведение, посредством которого вычисляются длины и

· углы.

Основные объекты геометрии - точки, прямые и плоскости в R³ определяются на «языке» векторов и координат. Например, пусть плоскость П определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) - произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:

(x-x₀)A+(y-y₀)B+(z-z₀)C=0

Таким образом, искомая плоскость П в R³ - это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2.

Решение геометрических задач в модели R³ сводится к решению систем уравнений.