Модель Вейля евклидовой геометрии

Арифметизация трехмерного евклидова пространства

Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2. Эту модель будем обозначать e³ и называть евклидовым пространством.

Построим арифметическую, или координатную, модель евклидова пространства e³, используя координатную модель евклидова векторного пространства , построенную в §3. Для этого введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,BÎe³ вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими основными свойствами.

Свойства операции откладывания вектора

Для всякой фиксированной точки A₀Îe³ и произвольной точки BÎe³ отображение

(1)

является взаимно однозначным отображением точек BÎe³ на множество векторов .

(Аксиома треугольников). Для любых трех точек A,B,CÎe³ справедливо равенство

.

(Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует хотя бы одна точка 0Îe³, для которой определена операция откладывания вектора для любой точки .

Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e³, а вектор – радиус–вектором точки в этом пространстве. Координатами точки MÎe³ называют координаты радиус–вектора (рис. 7), где , , – направленные отрезки в e³, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e³ приходим к векторному равенству

. (2)

Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe³, представляет взаимно однозначное соответствие между точками MÎe³ и арифметическими упорядоченными тройками чисел и является определяющим равенством для координат точек евклидова пространства.

Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойствами скалярного произведения (4), (6), (7), (8) из §3, а также свойством 1 операции откладывания отрезка.

Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину

(3)

Пусть = (u₁,v₁,w₁) и = (u₂,v₂,w₂) – направленные отрезки в e³ и пусть их координаты (u₁,v₁,w₁) (u₁,v₁,w₁) в Е³. Тогда, используя формулы (4), (7) и (8) из §3, получаем формулу для косинуса угла между и

(4)

Определение

Арифметической, или координатной, моделью евклидова пространства e³ называется множество упорядоченных троек чисел, определяемых соответствием (2) вместе с формулами длины отрезка (З) и углов между направленными отрезками (4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R³.

Вывод 1

Для построения модели R³ требуется задать или построить:

геометрическую модель трехмерного векторного пространства (модель направленных отрезков e³);

изоморфную модель координатного векторного пространства Е³;

операцию откладывания вектора (1);

скалярное произведение, посредством которого вычисляются длины и

углы.

Основные объекты геометрии – точки, прямые и плоскости в R³ определяются на «языке» векторов и координат. Например, пусть плоскость П определяется точкой M₀(x₀,y₀,z₀) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) – произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:

(x–x₀)A+(y–y₀)B+(z–z₀)C=0

Таким образом, искомая плоскость П в R³ – это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению.

Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R³ и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.

Вывод 2

Решение геометрических задач в модели R³ сводится к решению систем уравнений.