Запись системы линейных уравнений в виде матричного уравнения

Обозначим столбец неизвестных:

Обозначим столбец свободных членов:

Тогда рассматриваемую систему линейных уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения:

▼

Примеры

В рассмотренных ранее примерах системы линейных уравнений представляются в виде матричных уравнений:

1)

эквивалентна

;

2)

эквивалентна

;

3)

эквивалентна

;

4)

эквивалентна

.

▲

Систему линейных уравнений

можно представить расширенной матрицей

.

Определитель квадратной матрицы и его вычисление

Определитель есть число, определяемое для квадратной матрицы.

Системе линейных уравнений

из двух уравнений с двумя неизвестными соответствует квадратная матрица второго порядка

Исключая из системы поочередно каждое неизвестное, получим выражения:

Обозначим определитель второго порядка матрицы вычисляемый по правилу:

Аналогично выводится правило для определителя третьего порядка:

Схематично обозначим в определителе произведения элементов, которые берутся со знаком плюс и минус:

Определителем –ого порядка, соответствующим матрице , называется определенная алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце.

Вычисление определителя для матрицы требует расчета произведений и определения знака их суммирования. При - это произведения, при - это произведений, а при - уже . Поэтому определители высоких порядков проще вычислять понижением порядка.

Минором -ого порядка элемента матрицы называется определитель матрицы, получающейся после вычеркивания из матрицы -ой строки и -ого столбца:

Алгебраическим дополнением элемента называется определитель:

.

Определитель равен сумме произведений всех элементов его -ой строки на их алгебраические дополнения:

Последнее выражение называется разложением определителя по -ой строке. Аналогичное разложение определителя можно получить и по любому его столбцу:

Вычисление определителя -ого порядка понижением порядка сводится к вычислению определителей -ого порядка.

Специальным приемом можно снизить необходимое число рассчитываемых определителей, как это показано ниже на примере.

▼

Пример

Вычислить определитель матрицы

Решение.

А) Вычислим определитель способом понижения порядка, используя разложение по -ому столбцу:

Ответ:

Б) Вычислим определитель более рациональным способом, используя предварительные эквивалентные преобразования.

Следующее эквивалентное преобразование матрицы не влияет на величину ее определителя: прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число.

Будем вычислять определитель путем разложения по -ой строке.

Преобразуем эту строку прибавлением к ней -ой строки с целью получения в ней больше нулевых элементов:

Продолжаем эквивалентные преобразования с той же целью, прибавляя к -ому столбцу утроенный -ой столбец:

Тогда

Ответ:

▲