Системы линейных уравнений и матричные уравнения.

Система линейных уравнений может быть решена двумя способами.

Способ 1: стандартная команда solve находит решение системы линейных уравнений, записанных в развернутом виде:

.

Способ 2: команда linsolve(A,b) из пакета linalg находит решение уравнения . Аргументы этой команды: А – матрица, b – вектор.

С помощью команды linsolve(A,b) можно найти решение матричного уравнения АХ=В, если в качестве аргументов этой команды указать, соответственно, матрицы А и В.

Ядро матрицы.

Ядро матрицы А – это множество векторов х таких, произведение матрицы А на которые равно нулевому вектору: . Поиск ядра матрицы А эквивалентен решению системы линейных однородных уравнений. Найти ядро матрицы А можно командой kernel(A).

Задание 4.

1. Найти общее и одно частное решение системы:

> eq:={2*x-3*y+5*z+7*t=1, 4*x-6*y+2*z+3*t=2,

2*x-3*y-11*z-15*t=1}:

> s:=solve(eq,{x,y,z});

s:={ , y=y, }

Для нахождения частного решения следует выполнить подстановку конкретного значения одной из переменных при помощи команды subs:

> subs({y=1,t=1},s);

{ , , 1=1}

2. Решить матричное уравнение: АX=В; где ,

> A:=matrix([[1,2],[3,4]]):

> B:=matrix([[3,5],[5,9]]):

> X:=linsolve(A,B);

3. Дана матрица . Найти ее ранг, дефект: d(A)=n–r(A), где n – размерность квадратной матрицы, r – ее ранг. Найти ядро А. Наберите:

> A:=matrix([[1,1,0],[0,2,-1],[1,3,-1]]):

> r(A):=rank(A);

r(A):=2

> d(A):=rowdim(A)-r(A);

d(A):=1

> k(A):=kernel(A);

k(A):={[-1,1,2]}

Контрольные задания.

1) Даны 2 вектора: , . Найти и угол j между этими векторами.

2) Даны 3 вектора: , и . Найти: и .

3) Даны системы векторов: , , , . Предварительно выяснив, является ли система базисом, применить процедуру ортогонализации Грамма-Шмидта и построить ортогональный базис этого подпространства.

4) Даны матрицы и . Найти: AB, BA, detA, detB.

5) Дана матрица: . Найти: detA, А^-1, M₃₂, A'.

6) Найти ранг матрицы: . Привести матрицу С к треугольному виду.

7) Дана матрица . Найти ее спектр, характеристический многочлен и значение матрицы на нем (вместо переменной l в P_А (l) подставить А).

8) Дана матрица . Найти , det( ), собственные векторы и собственные числа матрицы , ядро матрицы Т.

9) Дана матрица . Найти нормальную форму Жордана, собственные векторы и числа, найти характеристический и минимальный многочлены.

10) Решить матричное уравнение: АХ=В, где , .

Контрольные вопросы.

1. Какой пакет следует загрузить перед решением задач линейной алгебры в Maple?

2. С помощью каких команд можно ввести вектор, матрицу?

3. Какими двумя командами можно сложить два вектора одинаковой размерности (2 матрицы)?

4. Какие виды произведений векторов вычисляются Maple и какие команды для этого используются?

5. Как вычислить норму вектора?

6. Как вычислить угол между двумя векторами?

7. Опишите команды нахождения базиса системы векторов и построение ортогонального базиса системы векторов.

8. Какими двумя командами можно вычислить произведение двух матриц (или матрицы на вектор)?

9. Какие команды используются для нахождения определителя, минора, алгебраического дополнения, следа матрицы?

10. Что такое дефект матрицы? Опишите способ нахождения дефекта квадратной матрицы. Какие команды при этом используются?

11. Какая матрица называется обратной и какими способами она вычисляется в Maple?

12. Что называется собственным вектором и собственным числом матрицы? Что называется спектром матрицы? Какие команды используются для нахождения спектра матрицы и ее собственных векторов? В каком виде в Maple выводятся результаты выполнения этих команд?

13. Перечислите специальные виды матриц и команды, приводящие матрицы к этим формам.

14. Что называется ядром матрицы, и какая команда используется для его нахождения?

15. Какая команда позволяет решать матричные уравнения?