Розділ 2 Метод підстановок

Цей метод полягає в тому, що застосовуючи замість змінних різні підстановки і комбінуючи одержані рівняння з вихідним, одержуємо алгебраїчне рівнян­ня відносно шуканої функції. Слід підкреслити, що при викорис­танні методу підстановок можуть виникнути зайві розв'язки. А тому перевірка є обов'язковою.

Приклад 2.1. Розв'язати функціональне рівняння

(2.1)

(х + у) + (х -у) = 2

Розв'язання Застосувавши послідовно метод підстановки

одержуємо відповідно такі рівняння:

,

або

(2.2)

де Розв'язавши систему рівнянь (2.2) як сис­тему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими одержимо

. (2.3)

Таким чином, доведено, що функція є розв'язком фун­кціонального рівняння (2.1) тільки тоді, коли вона має вигляд (2.3).

Покажемо, на завершення доведення, що функція де — константи, є розв'язком (2.1).

Дійсно,

Приклад 2.2.Розв'язати рівняння

(2.4)

Розв'язання. Застосувавши метод підстановки з рівняння (2.4) одержуємо :

де

Розв'язавши (2.5) як систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими і , дістанемо

(2.6)

Функція (2.6) задовольняє функціональне рівняння (2.4), що легко встановлюється перевіркою.

Аналіз розв'язань рівнянь (2.1) і (2.4) приводить до вис­новку, що аналогічні підстановки можна застосувати також і до інших рівнянь виду

Приклад 2.3. Розв'язати функціональне рівняння

(2.7)

Розв'язання Поклавши в (2.8) х = у = 0, одержимо

Звідси Застосувавши підстановку х = 0,у = , матимемо

(2.)

Для у = 0 з урахуванням (2.8) маємо

і за індукцією для будь-якого натурального п

(2.9)

Підставивши в (2.8) у = 2 , знаходимо

За формулою (2.10) Легко побачити, що

Із (2.8) одержуємо

Звідси Оскільки довільне >1 зображується у вигляді , то при Якщо , то, вибравши таким чином, щоб >1, і застосувавши (2.10), матимемо

Отже, для всіх дійсних х.

Розділ 3 Ітераційний метод

Познайомимось з ітераційним методом відшукання коренів функціонального рівняння x = F (x), і особливо з випадком, коли оператор, що задається функцією F (x), є оператором стиску. На базі розгляду цього методу викладається метод дотичних, що є одним з найбільш розповсюджених методів рішення функціонального рівняння f (x) = 0.

Для читання теорії не потрібно нічого вихідного за рамки програми середньої школи. Деякі припущення з математичного аналізу, що носять допоміжний характер і разом з тим даний самостійний загально-математичний інтерес, приведений з доказами, цілком доступними школярам.

Допоміжні твердження

Доведемо кілька допоміжних тверджень, що мають у курсі математичного аналізу великий самостійний інтерес.

1.Будемо говорити, що визначена в деякій області точка x = x0 функція f(x) зростає у точці x₀ , якщо існує така досить мала область точки x₀ , у межах якої f(x) > f (x₀) при x > x₀ , f (x) < f (x₀) при x < x₀ (відповідно f (x) < f (x₀) при x > x₀ , f (x) > f (x₀) при x < x₀).

Теорема 1. Якщо функція f (x) має похідну в точці x₀ і f '(x₀) > 0 (відповідно f'(x₀) < 0), то функція f (x) зростає у точці x₀ .

Для доведення цієї теореми заради визначеності розглянемо випадок f'(x₀) > 0 (випадок f '(x₀) < 0 розглядається зовсім аналогічно). Тому що похідна f '(x₀), по визначенню, дорівнює межі при x > x₀ різницевого відношення, де в малій області точки x₀ різницеве відношення (1) як завгодно мало відрізняється від f '(x₀), і тому що f '(x₀) > 0, то в досить малій області точки x₀ різницеве відношення (1) додатне. Це означає, що в зазначеній досить малій області цієї точки f (x) - f (x₀) > 0 при x – x₀ > 0 і f(x)- f (x₀) < 0 при x – x₀ <0 або, що те ж саме, f (x) > f (x₀) при x > x₀ і f (x) < f (x₀) при x < х₀ .

Теорема доведена.

2. Будемо говорити, що визначена в деякій області точки x = x₀ функція f (x) має в точці x₀ локальний максимум (відповідно локальний мінімум), якщо існує така досить мала область точки x₀ , у межах якої значення f (x₀) є найбільшим (відповідно найменшим) серед усіх значень f (x) цієї функції.

Теорема 2. Якщо функція f (x) має похідну в точці x₀ і має в цій точці локальний максимум або локальний мінімум, то обов'язково f '(x₀) = 0.

Для доведення цієї теореми зазначимо, що функція f (x), що має в точці x₀ локальний максимум або локальний мінімум, не може в цій точці x₀ ні зростати, ні спадати. Отже, з теореми 1 похідна f '(x₀) не може бути ні додатною, ні від’ємною, тобто f '(x0) = 0. Теорема доведена.

3. Нагадаємо, що функція f (x) називається безперервною в даній точці x₀, якщо в цієї функції існує в точці x₀ границя рівна її значенню f (x₀) у цій точці.

Теорема 3 (теорема Ролля). Якщо функція f (x) безперервна в кожній точці відрізка [а;b] і має похідну у всіх внутрішніх точках цього відрізка і якщо, крім того, f (a) = f (b), то усередині цього сегмента найдеться точка x, похідна f '(x) у якій дорівнює нулю.

Будемо спиратися на наступне встановлюване в курсі математичного аналізу твердження, що належить К.Т.В. Вейерштрассу: якщо функція f (x) безперервна в кожній точці відрізка [a;b], то на цьому відрізку знайдеться точка x₀, значення функції f(x₀) у якій є максимальним серед усіх значень функції f (x) на зазначеному відрізку, і точка x₁ , значення функції f (x₁) у якій є мінімальним серед значень функції f (x) на зазначеному відрізку.

Переходячи до доведення теореми 3, розглянемо спочатку випадок, коли функція f (x) є постійною на відрізку [ a ; b], тобто для всіх x з цього відрізка f (x) = f (a) = f (b).

У цьому випадку похідна f '(x) дорівнює нулю в будь-якій точці x сегмента [a;b]. Нехай тепер f (x) не є постійною на відрізку [a;b]. Тоді хоча б в одній внутрішній точці x цього відрізка значення f (x) не дорівнює f (a). Нехай заради визначеності це значення f (x) > f (a). Тоді максимальне значення функції f (x) на даному відрізку досягається в деякій внутрішній точці x цього відрізка і функція f (x) має в цій точці x локальний максимум. За теоремою 2 f '(x) = 0.

Теорема доведена.

4. Теорема 4 (теорема Лагранжа). Якщо функція f (x) безперервна в кожній точці відрізка [a;b] і має похідну у всіх внутрішніх точках цього відрізка, то усередині цього відрізка знайдеться точка x, така, що виконується рівність, названа формулою Лагранжа:

f (b) - f (a) = f '(x)(b - a)

Для доведення цієї теореми розглянемо на відрізку [a;b] допоміжну функцію і помітимо, що для цієї функції виконані на даному відрізку всі умови теореми 3. Дійсно, функція f (x) безперервна на відрізку [a;b] (як різниця безперервної функції f (x) і лінійної функції) і має у внутрішніх точках цього відрізка похідну. З рівності (3) очевидно, що f (a) = f (b) = 0. У силу теореми 3 усередині відрізка [a;b] знайдеться точка x, така, що f (a) = f (b) = f”(x)(b-a)

Теорема доведена.