Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B_l, В₂, ... , В_n, образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связи с тем, что событие А уже наступило. Другими словами, будем искать условные вероятности , , … , .

Найдем сначала условную вероятность . По теореме умножения имеем

.

Отсюда

.

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы В_i (i = 1,2, ..., п) может быть вычислена по формуле

Полученные формулы называют формулами Бейеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым — 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:

1) деталь проверил первый контролер (гипотеза B₁);

2) деталь проверил второй контролер (гипотеза В₂).

Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса:

По условию задачи имеем:

- вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру;

- вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру;

- вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной;

- вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной.

Искомая вероятность

.

Как видно, до испытания вероятность гипотезы B₁ равнялась 0,6, а после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Бейеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А повторными испытаниями. Будем считать, что в разных независимых испытаниях событие А имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А в каждом испытании постоянна и равна р. Тогда вероятность ненаступления события А равна q.

Вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n - k раз обозначают Р_n(k) и находят с помощью формулы Бернулли:

.

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 – р = 1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

.