Основы теории теплообмена

3.1. Основные понятия и определения

Теплообменом принято называть обмен тепловой энергией между физическими телами (или системами), вызванный наличием разности температур этих тел (или систем). Такой перенос теплоты в соответствии со вторым законом термодинамики всегда имеет определенное направление от более нагретых тел (или систем) к менее нагретым.

Теплота может распространяться в любых веществах и даже через вакуум.

В реальных условиях теплообмен является сложным процессом. Однако ради простоты изучения различают три элементарных вида теплообмена: теплопроводность (кондукцию), конвекцию и тепловое излучение.

При теплопроводности перенос теплоты происходит за счет соударений.и диффузии частиц тел, а также квантов упругих колебаний их кристаллических решеток — фононов, при макроскопической неподвижности всей массы вещества. В наиболее чистом виде теплопроводность можно наблюдать в твердых телах и тонких неподвижных слоях жидкости и газа. В металлах и полупроводниках теплообмен осуществляется за счет соударений и диффузии свободных электронов, а также упругих колебаний кристаллической решетки, т.е. теплопроводность складывается из двух слагаемых — электронной и фононной. В металлах вторая слагающая мала, в полупроводниках она больше, а в диэлектриках — является основной.

Основной закон теплопроводности – закон Фурье – является феноменологическим описанием процесса и имеет вид

где q —удельный тепловой поток, Вт/м²; l— коэффициент теплопроводности вещества, Вт/(м×К); grad t — градиент температуры, К/м.

Под конвекцией теплоты понимают процесс передачи ее из одной части пространства в другую перемещающимися макроскопическими объемами жидкости или газа. В зависимости от причины, вызывающей движение, конвекция может быть свободной (естественной) или вынужденной, происходящей за счет действия внешних сил. Естественное или свободное движение жидкости или газа, а следовательно, и конвекция теплоты, вызываются разностью удельных весов неравномерно нагретой среды; принудительное, движение осуществляется нагнетателями (насосами, вентиляторами, компрессорами и др.).

Из определения конвекции следует, что количество передаваемой конвекцией в единицу времени теплоты прямо связано со скоростью движения среды. Теплота передается главным образом в результате проходящих потоков жидкости, или газа (макрообъемов), но отчасти теплота распространяется и в результате обмена энергией между частицами, т.е. теплопроводности. Таким образом, конвекция всегда сопровождается, теплопроводностью (кондукцией), следовательно, теплопроводность является, неотъемлемой частью конвекции. Совместный процесс конвекции теплоты и теплопроводности называют конвективным теплообменом. Конвективный теплообмен между потоком теплоносителя и поверхностью называют конвективной теплоотдачей, или теплоотдачей соприкосновением, и описывают формулой Ньютона–Рихмана:

где q_к– удельный поток теплоты, Вт/м²; α_к – коэффициент конвективной теплоотдачи, Вт/(м×К); Dt – средняя .разность температур между греющей средой и нагреваемой поверхностью (температурный напор), К.

Величину, обратную коэффициенту теплоотдачи, 1/α называют термическим сопротивлением. Коэффициент конвективной теплоотдачи зависит от многих факторов: скорости потока и характера движения, формы и размера обтекаемого тела, свойств и состояния среды и пр.

При теплообмене излучением (называемом также лучистой и радиационной теплоотдачей) тела не соприкасаются друг с другом и перенос теплоты между ними при наличии: разности температур Т₁ > Т₂осуществляется с помощью электромагнитной энергии. Происходит двойное превращение энергии – в теле с температурой Т₁теплота превращается в излучение — носитель электромагнитной энергии, а в теле с температурой Т₂в результате поглощения излучения электромагнитная энергия снова превращается в теплоту.

Результирующий тепловой поток от излучающей среды с aбсолютной температурой Т_окр к поверхности, средняя абсолютная температура которой равна Т_с, определяется по формуле, вытекающей из закона Стефана—Больцмана:

где q_л – плотность теплового потока, Вт/м²; s₀ — коэффициент излучения, Вт/(м²×К⁴); e_пр — приведенная степень черноты, зависящая от свойств изучающей среды и поверхности и выражениях в долях от степени черноты абсолютно черного тела, принимаемой за единицу.

Количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность F, в теории теплообмена принято называть тепловым потоком и обозначать буквой Q, Вт.

Следовательно,

Возможны любые сочетания из трех указанных элементарных видов теплообмена. Такой сложный теплообмен, всегда имеющий место в реальных условиях, называется собственно теплопередачей. Примером его может служить теплообмен между топочными газами в паровом котле и водой, движущейся по трубам, расположенным в топке и газоходах. Передача теплоты от факела горящего топлива к наружным поверхностям стенок труб осуществляется лучеиспусканием; от горячих газов к этим поверхностям — конвективной теплоотдачей, через стенки труб – теплопроводностью, а от внутренних стенок к воде – конвективной теплоотдачей.

Теплопроводность

Общие положения. Перенос теплоты за счет теплопроводности зависит от распределения температуры по объему тела. Совокупность значений температуры во всех точках тела в данный момент времени называется температурным полем. Математическое выражение температурного поля связывает температуру t с пространственными координатами любой точки х, у, z в данный момент времени t:

Если температура является функцией одних только пространственных координат (х, у, z), то такое поле называется стационарным, или установившимся. Однако часто температура каждой точки тела зависит также от времени t, т.е. t =f(x, у, z, t), и тогда поле называется нестационарным, или неустановившимся. Так, например, нагревающаяся в печи стальная заготовка имеет нестационарное поле, а в прогревшейся стенке здания температура каждой точки не меняется во времени и ее температурное поле будет стационарным.

Очевидно, что для установившегося теплового режима

Поверхность, объединяющую точки равной температуры, называют изотермической.

По закону Фурье (3.1)

Коэффициент теплопроводности

Знак минус в уравнении (3.1) указывает на то, что вектор q направлен противоположно вектору grad t, т.е. в сторону наибольшего уменьшения температуры (рис. 3.1).

Рис.3.1. К пояснению закона теплопроводности Фурье

Отсюда видно, что коэффициент теплопроводности представляет собой количество теплоты, переносимой в единицу времени через единицу поверхности материала при падении температуры на один градус на единицу длины.

Опытным путем установлено, что коэффициент теплопроводности зависит от свойств вещества (его плотности, структуры, влажности и т.п.) и параметров состояния (давления, температуры). Значения l для различных веществ и условий сводятся в таблицы (табл. 3.1). В ответственных случаях для специфических условий их определяют непосредственно в лаборатории. Зависимость lот температуры для большинства материалов имеет линейный характер.

Таблица 3.1. Коэффициенты теплопроводности

Вещество	t, °С	X, Вт/(м-К)
Металлы:	—	"~~~^^^Ш~~\
Серебро
Медь
Алюминий
Сталь		50,1
Ртуть		8,2
Строительные и изоляционные материалы:	—■	0,023...2,9
Кирпич шамотный		0,75
Кирпич красный		0,6...0,66
Песок (влажность 10%)	'0...40	0,57.. .0,83
Стеклянная вата (влажность 10%)	20...30	0,052
Асбест		0,072
Котельная накипь		0,08...2,3
Ламповая сажа		0,07...0,116
Вода	0/100	0,55/0,68
Воздух	0/100	0,0244/0,0805

где l₀ — значение l при 0 °С; b — постоянная, зависящая от свойств материала.

Однако в технических расчетах значения l принимаются обычно постоянными, равными среднеарифметическим в данных пределах изменения температуры.

Для решения задачи по определению количества теплоты, передаваемой теплопроводностью, было найдено дифференциальное уравнение теплопроводности при следующих допущениях: тело однородно, изотропно, физические параметры его постоянны.

Общее дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат:

где dt/dt — скорость изменения температуры; α =l/cr – коэффициент температуропроводности, величина которого пропорциональна скорости прогрева (или остывания), м²/с; q_v — удельная объемная теплопроизводительность внутренних источников, Вт/м³; Ѳt — дифференциальный оператор Лапласа.

Наиболее простые соотношения получаются при условии стационарного (установившегося) режима, в которых температура тела не зависит от времени, т.е. dt/dt = 0, следовательно,

При отсутствии внутренних источников тепла для одномерной задачи получим

Теплопроводность плоской стенки. Из предыдущего следует, что для плоской стенки, или иначе для неограниченной пластины, условие установившегося режима выражается уравнением

Решив это уравнение, получим dt/dx = с₁, и, следовательно,

где c₁ и с₂ - постоянные интегрирования.

Отсюда вытекает, что в плоской стенке без внутренних источников теплоты температура распределяется по закону прямой линии (рис. 3.2, а).

Определив значения постоянных (приняв один раз х = 0, а другой раз х = d) и подставив их в уравнение (3.6), найдем значение температуры в любой точке:

Тепловой поток, проходящий через 1 м² стенки, можно выразить следующим образом:

Рис. 3.2. Теплопроводность через плоскую (а),цилиндрическую (б)и многослойную (в)стенки

Закон Фурье можно записать в форме, аналогичной закону Ома в электротехнике, введя понятие о тепловом (термическом) сопротивлении:

где — тепловое (термическое) сопротивление стенки, м²×К/Вт.

Для многослойной сложной стенки, состоящей из п слоев, тепловое сопротивление будет равно сумме сопротивлений отдельных слоев:

В этом случае удельный тепловой поток может быть определен по формуле

Распределение температур внутри многослойной стенки изображается ломаной линией (рис. 3.2, в).

Теплопроводность цилиндрической стенки трубы.Цилиндрические стенки встречаются очень часто в различных трубопроводах, в поверхностях нагрева всевозможных теплообменных аппаратов, котельных агрегатах и т.д. Требуется рассчитать тепловой поток, передаваемый через цилиндрическую стенку трубы. Задача о распространении теплоты в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате r), а по длине трубы и по ее периметру остается неизменной (рис. 3.2, б). В этом случае grad t = dt/drи закон Фурье будет иметь вид

или

Интегрирование уравнения (3.9) в определенных пределах (по tот t_c1 до t_c2и по r от r₁до r₂) дает зависимость для расчета теплового потока Q (Вт) через цилиндрическую стенку:

где l и d —- соответственно длина и диаметр трубы, м.

Количество теплоты, отнесенное к 1 м длины трубы, определяется по формуле

Температура внутри стенки распределяется по логарифмической кривой, изображенной на рис. 3.2, б.

Для многослойной цилиндрической трубы, покрытой п слоями тепловой изоляции, количество теплоты, отнесенное к 1 м длины трубы, определяется по формуле