Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y) = δ [f ' (x) d x] = [f ' (x) d x] ' δx = f '' (x) d(x) δx .

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d²y, т.е.

d²y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d²y) от дифференциала d²y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d³y и т.д. Дифференциал δ(d^n-1y) от дифференциала d^n-1f, взятый при δx = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dⁿy.
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

dⁿy = y⁽ⁿ⁾·(dx)ⁿ, n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

dⁿ⁻¹y = y⁽ⁿ⁻¹⁾·(dx)ⁿ⁻¹,

и функция y^(n-1)(x) дифференцируема в некоторой точке x. Тогда

Полагая δx = dx, получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f ( x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

36) Ферма:

Для любого натурального числа уравнение

не имеет натуральных решений , и .

Ролль: Если вещественная функция, непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Док-во

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

37) Теорема Коши́ о среднем значении.

5. доказанному . Следовательно, y ' = cos² y . Но .Поэтому 6. 7. Используя эти формулы, найти производные следующих функций: 31) 1.8. Производная показательно степенной функции Рассмотрим показательно степенную функцию y = u(x)^v(x) Теорема 11. Пусть функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы, тогда функция y = u(x)^v(x) дифференцируема и Доказательство Так как ln y = v(x) ln u(x), то, продифференцировав это равенство, получаем Теорема доказана. 32) Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента. . Геометрический и механический смысл дифференциала 1. Проведем к графику функции касательную в точке и рассмотрим ординату касательной для точки (Рис. 32). Из рисунка , , из прямоугольного треугольника имеем: . Но согласно геометрическому смыслу производной получаем , . Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда точка получает приращение. Механический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость. Свойства Дифференциалов 1. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0, с = const. 2. Дифференциал суммы дифференцируемых функцийравен сумме дифференциалов слагаемых: d(u+v)=du + dv Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны d(u+c) = du (c= const). 3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой: d(uv) = udv + vdu. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала d(cu) = cdu (с = const). 4. Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой 5. Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной. Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике: Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала: Начинаем разбираться, здесь всё просто! На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение . Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе: – получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения. В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: . Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .   Пусть даны две функции и такие, что: 1. и определены и непрерывны на отрезке ; 2. производные и конечны на интервале ; 3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале 4. ; тогда существует , для которой верно: . (Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале .) Геометрически это можно переформулировать так: если и задают закон движения на плоскости (то есть определяют абсциссу и ординату через параметр ), то на любом отрезке такой кривой, заданном параметрами и , найдётся касательный вектор, коллинеарный вектору перемещения от до . Доказательство Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю, а равна как раз необходимому числу.

Лагра́нжа

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательнаяпараллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть — расстояние точки в момент от начального положения. Тогда есть путь, пройденный с момента до момента , отношение — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени , то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

Доказательство

Для функции одной переменной:

Введем функцию . Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны . Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка , в которой производная функции равна нулю:

что и требовалось доказать.

38)Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Условия:

1. или ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.