Функции нескольких переменных

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ: ЭКЗАМЕН.

Основные требования к итоговому контролю: знание основных понятий теории и умение их применять к решению практических заданий

Титульный лист следует оформить по образцу:

ФБГОУ ВПО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)»   Факультет______________   Контрольная работа по курсу «Математический Анализ»     Выполнил(а) студент(ка) Фамилия, Имя, Отчество Группа AAAZ(S)-NNN Номер зачетной книжки № NNNNN Проверил(а) преподаватель кафедры «Фундаментальной и Прикладной Математики» Фамилия. И.О.___________________   2012/13

Программа курса математический анализ

Введение в анализ

1. Элементы теории множеств.

1.1. Понятие множества. Конечное, бесконечное, пустое множества; равные множества. Подмножество множества.

1.2. Способы задания множеств.

1.3. Операции над множествами: объединение, пересечение, разность. Декартово произведение множеств.

2. Элементы теории функций.

2.1. Определение функции (отображения). Тождественное и постоянное отображения.

2.2. Способы задания функций.

2.3. Образ и прообраз элемента и множества.

2.4. Композиция отображений.

2.5. Обратимые и обратные отображения.

3. Функции, окрестности, предельные точки.

3.1. Понятие числовой функции. Область определения, область и множество значений, график функции.

3.2. Окрестность, проколотая окрестность, окрестности символов бесконечности.

3.3. Предельные точки числовых множеств.

4. Предел функции.

4.1. Определение конечного предела в конечной предельной точке. Односторонние пределы.

4.2. Бесконечно малые (б/м) функции, бесконечно большие (б/б) функции, ограниченные и неограниченные функции.

5. Основные теоремы о б/м и б/б функциях.

5.1. Теоремы: сумма б/м., произведение ограниченной на б/м., частное б/м. и функции, предел которой отличен от нуля; основные следствия из них.

5.2. Связь между б/м и б/б функциями.

6. Основные теоремы о пределах.

6.1. Критерий существования конечного предела.

6.2. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного.

7. Непрерывность функции.

7.1. Определение непрерывной функции в точке и на множестве.

7.2. Теоремы о непрерывности суммы, произведения, частного непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции.

7.3. Условия непрерывности функции в точке, точки разрыва и их классификация.

7.4. Основные теоремы о функциях непрерывных на отрезке.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

8. Производная функции.

8.1. Определение производной функции в точке.

8.2. Скорость изменения и производная.

8.3. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью.

8.4. Основные правила дифференцирования.

8.5. Производная сложной функции.

8.6. Производная обратной функции.

9. Дифференциал функции.

9.1. Определение дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

9.2. Свойства дифференциала.

10. Оптимизация по одной переменной.

10.1. Локальный экстремум.

10.2. Основные теоремы дифференциального исчисления: необходимое условие экстремума, теорема Ролля, теорема Коши, теорема Лагранжа и их геометрический смысл.

10.3. Достаточное условие монотонности и постоянства функции.

10.4. Определение выпуклой (вогнутой) функции. Геометрический смысл выпуклости (вогнутости). Точки перегиба.

10.5. Достаточные условия выпуклости и существования точек перегиба.

10.6. Достаточные условия экстремума функции.

10.7. Производные высших порядков.

10.8. Достаточные условия экстремума и перегиба дважды дифференцируемой функции.

10.9. Формула Тейлора для многочлена и функции.

Функции нескольких переменных

11. Дифференциальное исчисление функций п переменных.

11.1. Определение функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация. График.

11.2. Окрестности и предельные точки.

11.3. Частные производные первого порядка.

11.4. Функциональная зависимость функций. Якобиан.

11.5. Полные дифференциалы. Полные производные.

11.6. Производная по направлению. Градиент. Касательная гиперплоскость к гиперповерхности уровня.

11.7. Неявные функции. Дифференцирование неявных функций.

11.8. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума.

11.9. Частные производные высших порядков. Гессиан.

11.10. Знакоопределенность квадратичных форм.

11.11. Достаточные условия экстремума.

11.12. Условный экстремум. Необходимые условия. Метод множителей Лагранжа.

11.13. Достаточные условия для функции двух переменных.

11.14. Однородные функции.

Интегральное исчисление

12. Неопределенный интеграл.

12.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

12.2. Основные свойства неопределенного интеграла.

12.3. Таблица неопределенных интегралов.

12.4. Методы интегрирования: разложения, подведения под знак дифференциала, подстановки, интегрирования по частям.

12.5. Практические методы интегрирования некоторых классов функций.

12.6. Понятие о «неберущихся» интегралах.

13. Определенный интеграл.

13.1. Понятие интегральных сумм.

13.2. Понятие определенного интеграла. Определение предела интегральных сумм.

13.3. Интегрируемость функции, необходимое и достаточное условие интегрируемости.

13.4. Свойства определенного интеграла, выраженные равенствами, и неравенствами, теорема о среднем.

13.5. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о дифференцируемости.

13.6. Связь определенного интеграла с неопределенным.

13.7. Формула Ньютона-Лейбница.

13.8. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям и методом замены переменной.

13.9. Понятие о несобственных интегралах.