Существует единственное решения ДУ n-го порядка

= f (x, y, y’, y’’ , …

y ( ) =

y’ ( ) = ’

= ‘’ , … , ( ) =

Если в окрестности начальной точки :
( , , ’, ’’ , )

Функция f – является не прерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяющая условию Липшица по всем аргументам начиная со второго

Теорема (3.6)

Существование и единственности решения системы :

= f I ( x, )

( ) = y I 0 (i= 1, 2, … , n) (3.9)

Предположим , что в области Д , определённое неравенством :

– a x + a i = (1, 2, … , )

– bi + bi

Правые части уравнения (3.9) удовлетворяют условию :

① (x, ) i= (1, 2, … , n) │ │ M

② все формулы (1 … n) удовлетворяет условия Липшица

│ (x, y, │

3. Простейшие ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной.

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка первой степени можно разрешить относительно к производной представляя в виде (1.7). Простейший пример такого уравнения:

= 1(х)

В этом случае:

y=

Содержит произвольную постоянную, которая может быть определенна если известно первоначальное значение:

y( ) =

Тогда y= +

Вообще при некотором ограничении на функцию f(x)=y уравнение:

= f (x, y)

также имеет одинаковое решение удовлетворяющее условию :

y ( ) =

а его общее решение зависит от одной произвольной постоянной

4. Уравнения с разделяющимися переменными :

5. Уравнения вида , :

К уравнению с разделёнными переменными приводит и однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

= f ( )

z = y = x z

x =

Напомним , что функция ϕ (x , y) называется однородной степени k

4 (tx , ty ) = ϕ (x , y)

Правая часть однородного уравнения , является однородной функцией переменных x и y нулевой степени однородности.

Поэтому уравнение вида :

M (x, y) dx + N (x , y) dy = 0

Будет однородным если M (x , y) и N (x , y) является однородной функцией (x , y) одинаковой степени однородности, то есть в этом случае

Уравнение такого вида преобразуется в однородное уравнение путем переноса из начала координат в точку пересечения ( ) переменных

Действия в новых координатах

x = x -

y = y -

Свободный член = 0

Коэффициент при текущей координате остается неизменным , а производная :

и уравнение (2.3) преобразится к виду:

)

или ) = ϕ (

и является Однородным Уравнением

Этот метод не применим если эти прямые:

x + y + = 0 - параллельные

x + y + = 0

на = c

= k

И уравнение (2.3) может быть записано в виде : f (

которое с заменой

z = , преобразованное уравнение в уравнении с разделом переменной .

6. Однородное дифференциальное уравнение первого порядка.:

7. Уравнение в полных дифференциалах.

8. Уравнение, допускающее интегрирующий множитель.:

В некотором случае ,когда левая часть M (x , y) dx + N(x , y ) dy = 0 (2.8)

не является полной дифференциалом, легко удается подобрать функцию умножения на которую, левая часть (2,8) превращается в полный дифференциал то есть :

d U = ϻM dx + ϻN dy

Такая функция ϻ– интегрируемая множеством ϻ(x, y) может привести к появлению постороннего решения , обращающего (x, y) в ноль

Надо подобрать ненулевое решение уравнения:

(2.11)

Вообще задача интегрирования (2.11) ничем нелегче (2.10)

Если считать ϻ – Ф одной переменной будь то x, y, … , то задача упрощается

Например : условие, когда ϻ (x) => - непрерывная функция x =>

Ln M =

M= C * (2.12)

Можно считать c=1, так как нам нужен хоть 1 интегральный множитель

Если является функцией тока x то интегральное множество найдется по уравнению (2.12)

Аналогично можно выписать условия при которых интегральное множество зависит от другой выбранной переменной

9. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Ла-гранжа.:

ЛОДУ п-го порядка – уравнение линейной относительности неизвестной функции и её производной и значит имеющий вид:

+ (x) + … + (x) * + (x) y= ϕ (x) (3.1)

Если правая ϕ (x)≡0 то уравнение называется линейным однородным

Поскольку , однородно относится неизвестная функция y и её y’

Если коэффициент ни в одной точке некоторого отрезка a то разделим на приведем к виду

+ (x) + … + (x) y’ + (x) y = 0 (3.2)

=-