Интегрирование рациональных дробей

Первообразная или неопределенный интеграл

Определение первообразной

Определение. Функция Интегрирование рациональных дробей - student2.ru называется первообразной функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru на отрезке Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , если для всех точек этого интервала выполняется равенство Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Теорема 1. Если Интегрирование рациональных дробей - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей - student2.ru две первообразные функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство:

Рассмотрим новую функцию Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , равную разности первообразных функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Нетрудно видеть, что Интегрирование рациональных дробей - student2.ru Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , а значит Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Следствие. Если для некоторой функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru найдена какая-нибудь первообразная Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то любая другая первообразная имеет вид Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Определение. Если Интегрирование рациональных дробей - student2.ru есть первообразная функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то выражение Интегрирование рациональных дробей - student2.ru называется неопределенным интегралом и обозначается Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – подынтегральная функция; Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – подынтегральное выражение.

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Теорема 2. Если функция Интегрирование рациональных дробей - student2.ru непрерывна на отрезке Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то для этой функции существует первообразная на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

4. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

5. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

6. Если Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то

а) Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ,

б) Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ,

в) Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Таблица интегралов

1. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

2. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

3. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

4. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

5. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

6. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

7. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

8. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

9. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

10. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

11. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru ;

12. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Методы интегрирования

Интегрирование методом подстановки

Заметим, что следующие равенства не зависят от того, как обозначается переменная Интегрирование рациональных дробей - student2.ru или

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru или Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Пусть Интегрирование рациональных дробей - student2.ru любая дифференцируемая функция. Тогда Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , что следует из правила дифференцирования сложной функции Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Часто метод подстановки применяется в другой форме. В этом случае переменную представляют как функцию вспомогательного аргумента Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Интегрирование по частям

Пусть Интегрирование рациональных дробей - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей - student2.ru функции, имеющие непрерывные производные. Тогда Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Интегрируя это равенство, получим Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Для получения формулы осталось выразить Интегрирование рациональных дробей - student2.ru из правой части.

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – формула интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных дробей

Напомним, что корнем многочлена Интегрирование рациональных дробей - student2.ru называется число Интегрирование рациональных дробей - student2.ru (действительное или комплексное), такое, что Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . При этом многочлен можно разложить на множители Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , где Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – кратность корня Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Если Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то корень называется простым. В случае если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень, то комплексное число, сопряженное данному корню, также является корнем этого многочлена. Тогда в разложении многочлена на множители входит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Дробно-рациональной функцией называется функция вида Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , где Интегрирование рациональных дробей - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей - student2.ru многочлены соответственно степени Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Если Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , то дробь называется правильной. В противном случае – неправильной. Для неправильной дроби нужно выполнить процедуру выделения целой части, то есть представить данную неправильную дробь как сумму многочлена и правильной дроби Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Где Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – частное и остаток от деления числителя дроби на знаменатель соответственно.

Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Для того чтобы проинтегрировать правильную дробь ее нужно разложить в сумму простейших дробей. К простейшим дробям относятся такие дроби: Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Разложение дроби в сумму простейших определяется следующими правилами.

а) Знаменатель имеет простые действительные корни

Теорема 1. Пусть Интегрирование рациональных дробей - student2.ru простой корень знаменателя дроби Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

б) Знаменатель имеет действительные кратные корни

Теорема 2. Пусть Интегрирование рациональных дробей - student2.ru – корень знаменателя дроби Интегрирование рациональных дробей - student2.ru кратности Интегрирование рациональных дробей - student2.ru , тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Следствие. Интегрирование рациональных дробей - student2.ru

в) Знаменатель имеет комплексные корни

Теорема 3. Пусть два комплексных сопряженных числа Интегрирование рациональных дробей - student2.ru являются корнями знаменателя дроби Интегрирование рациональных дробей - student2.ru . Тогда данную правильную дробь можно представить в виде суммы двух других правильных дробей Интегрирование рациональных дробей - student2.ru .

Наши рекомендации