Критерий Найквиста для устойчивых разомкнутых САР

Если разомкнутая САР устойчива, то ее характеристическое уравнение А(р) = 0 содержит все n корней в левой полуплоскости. Тогда, согласно принципу аргумента получается

.

Для того, чтобы замкнутая САР была устойчивой, нужно, чтобы ее характеристической уравнение А(р)+В(р) = 0 также содержало все n корней в левой полуплоскости, и, следовательно

В этом случае согласно (10.3) следует, что

, (10.4)

т.е. при устойчивой разомкнутой системе изменение аргумента вспомогательного вектора с изменением частоты от 0 до ∞ равно нулю.

Рассмотрим кривую, которую конец вспомогательного вектора описывает при изменении частоты от 0 до ∞. Эта кривая, во-первых, подчиняется условиям (10.2), а, во-вторых, может проходить либо не охватывая (рис. 10.1 а), либо охватывая (рис. 10.1, в) начало координат.

Рис.10.1. Положение кривой относительно

начала координат.

Обратим внимание на то, как изменяется аргумент вспомогательного вектора при в обоих случаях. На рис. 10.1,а, когда кривая не охватывает начало координат, аргумент , равный нулю при , с ростом частоты принимает последовательно значения (максимальная отрицательная величина) , (максимальная положительная величина), . Таким образом, изменение аргумента вектора в этом случае при равно нулю.

В случае, когда кривая охватывает начало координат (рис.10.1,в), аргумент рассматриваемого вектора

при росте частоты от 0 до изменяется следующим образом:

Следовательно, в этом случае

Отсюда, принимая во внимание соотношение (10.4), можно сказать:

Для устойчивости замкнутой САР при устойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы кривая, образованная концом вектора , начинаясь на действительной оси, при росте частоты от 0 до не охватывала начало координат.

Поскольку ранее мы условились, что

(10.5)

т.е. при одинаковых мнимых частях действительная часть АФХ разомкнутой САР W_p сдвинута относительно действительной части на единицу влево и рис. 10.1 для можно перестроить для АФХ разомкнутой САР W_p следующим образом:

Рис. 10.2. Положение W_p относительно

критической точки с координатами (-1, j0).

Если ранее речь шла об охвате или не охвате кривой начала координат, то, очевидно, теперь (рис. 10.2.) надо следить за охватом или не охватом кривой W_p критической точки (-1, j0). Поэтому критерий Найквиста окончательно сформулируем в следующем виде:

Для устойчивости замкнутой САР при устойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой САР W_p , начинаясь на действительной оси, при росте частоты от 0 до ∞ не охватывала точки (-1, j0).

Очевидно также, что если W_p , с ростом частоты от 0 до ∞ охватывает точку (-1, j0), то система в замкнутом состоянии неустойчива. Ну и, наконец, если W_p проходит через точку (-1, j0), то система находится на границе устойчивости.

АФХ разомкнутой САР W_p , как комплексную функцию можно представить либо в декартовой

,

либо в показательной форме

.

Поэтому любой граничный параметр, соответствующий случаю нахождения САР на границе устойчивости, например, граничный коэффициент усиления k_гр, можно определить либо из соотношений

(здесь под понимается то значение частоты, при которой фазовый угол становится равным ), либо следующим образом

*

А( *)

-1, j0

=0

=

+j

+

В

Wp(j )

Рис. 10.3. Случай границы устойчивости замкнутой САР.

В самом деле, из рис. IV. 15 видно, что в случае границы устойчивости в точке (-1, j0) , , =1.

Критерий Найквиста для неустойчивых разомкнутых САР

Если разомкнутая САР неустойчива, то среди корней ее характеристического уравнения А(р) = 0 есть m 0 правых корней. Тогда согласно принципу аргумента получим

Чтобы замкнутая САР была устойчивой, надо чтобы ее характеристическое уравнение имело бы все корни левые. Тогда

.

В этом случае согласно (10.3) получим

.

Множитель обозначает, что вектор совершает вокруг начала координат полный оборот.

Тогда критерий Найквиста для неустойчивых разомкнутых систем при учете (10.5) может быть сформулирован следующим образом:

Для устойчивости замкнутой САР при неустойчивой разомкнутой системе необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой САР W_p , начинаясь на действительной оси, при росте частоты от 0 до ∞ охватывала точку (-1, j0) в положительном направлении раз, где m – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САР.

Пусть W_p имеет вид, изображенный на рис. 10.4, и охватывает точку (-1, j0) в положительном направлении 1 раз, т.е. = 1, поэтому m = 2.

-1, j0

Wp(j )

=0

=

+j

+

Рис.10.4. АФХ разомкнутой САР.

Это означает, что если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня, система в замкнутом состоянии устойчива. Для W_p , изображенной на рис. 10.4, наличие у характеристического уравнения разомкнутой системы числа правых корней не равных 2, означает неустойчивость замкнутой САР.

Часто из-за наличия местных обратных связей АФХ разомкнутой САР совершает несколько оборотов вокруг точки (-1, j0) и имеет достаточно замкнутую конфигурацию (рис. 10.5).

(-)

+j

Рис. 10.5. АФХ разомкнутой САР с местными обратными связями.

-1, j0

Wp(j )

=0

=

+

Здесь подсчитывать число оборотов W_p вокруг точки (-1, j0) затруднительно. Для подобных случаев видный советский ученый Я. З. Цыпкин предложил удобную методику, базирующуюся на понятиях положительного и отрицательного переходов.

Переход амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой САР W_p с ростом частоты отрезка действительной оси сверху вниз называется положительным (+), а снизу в верх – отрицательным (–).

Тогда критерий Найквиста в формулировке Цыпкина предстает в следующем виде:

Замкнутая САР устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов равна , где m – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 10.5 изображен случай, когда имеется два положительных и один отрицательный переход, т.е.

,

и, значит, если характеристическое уравнение разомкнутой САР имеет 2 правых корня (только в этом случае!), замкнутая САР устойчива. Подчеркнем еще раз, что при подсчете переходов исследуется только участок и не принимается во внимание остальная часть действительной оси.

Сейчас мы рассмотрим случай для неустойчивой разомкнутой САР. Однако, вышеприведенная формулировка Цыпкина критерия Найквиста применима для устойчивой разомкнутой САР (рис. 10.6).

+j

Рис. 10.6. АФХ разомкнутой системы.

–

-1, j0

Wp(j )

=0

+

На этом рисунке изображена АФХ разомкнутой системы, имеющая 1 положительный и 1 отрицательный переходы. По Цыпкину

,

таким образом, система будет устойчива, если разомкнутая система тоже устойчива, т.е. имеет m = 0 правых корней своего характеристического уравнения.