Метод подстановки (замены переменной)
Глава IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Первообразная и неопределенный интеграл
Основные понятия
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если в любой точке этого промежутка выполняется равенство или dF(x) = f(x) dx.
Если F(x) - первообразная для f(x), то функция F(x) + C, где C – некоторая постоянная, также является первообразной для функции f(x), так как для любого С.
Определение 2. Если F(x) - первообразная для функции f(x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается .
Согласно данному определению имем
.
При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x) dx – подынтегральным выражением, x - переменной интегрирования.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. .
2. d .
3. .
4. , a = const.
5. .
Таблица основных интегралов
1. 2. (a ¹ -1)
3. (x ¹ 0) 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. = arctgx + C 12.
13. 14.
Методы интегрирования
1. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов и основных свойств неопределенных интегралов.
Пример 1. Вычислить интеграл
Решение. Применим свойства 4и5и воспользуемся таблицей интегралов, тогда
.
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Интеграл не табличный, поэтому преобразуем его. Так как 1 = sin2x + cos2x, то интеграл можно записать в виде
= .
Применяя свойство 5, получим
Получили два табличных интеграла 8 и 9.
Пример 3. Вычислить интеграл
Решение. Интеграл не табличный. Умножим и разделим подынтегральное выражение на 3 и учтем, что 3dx = d(3x), тогда
.
Мы привели исходный интеграл к табличному интегралу 7 с переменной интегрирования 3x
.
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение. Данный интеграл может быть приведен к табличному, если учесть, что cos x dx = Считая sin x переменной интегрирования, по формуле 2 таблицы интегралов получим
Пример 5. Вычислить интеграл
Решение. Учитывая, что dx = d(1 + x), получим
.
Пример 6. Вычислить интеграл
Решение. Так как x dx = , то
.
Пример 7. Вычислить интеграл
Решение. Так как 1 + 2x2 = (1 + x2) + x2, то
= .
По формулам 2 и 11 таблицы интегралов получаем
Метод подстановки (замены переменной)
Замена переменной интегрирования в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки двух видов:
1) x = j(t), где j(t) - дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид
;
2) u = y(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке:
.
Пример 8.Вычислить интеграл
Решение. Сделаем подстановку t = , т. е. x = t3. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx = = 3t2dt. Тогда получим
.
Вернемся к переменной интегрирования x. Подставляя в результат интегрирования t = , получим
.
Пример 9. Вычислить интеграл
Решение. Положим x3+ 5 = t, тогда 3x2dx = dt, x2dx = и интеграл преобразуется к виду
.
Если интеграл является табличным, то интеграл может быть легко найден с помощью подстановки ax + b = t.
Пример 10. Вычислить интеграл
Решение. Пусть ax + b = t, тогда аdx = dt, dx = и интеграл примет вид .
Пример 11. Вычислить интеграл .
Решение. Сделаем подстановку cos2x = t, тогда 2 cos x sin x dx = dt, т. е. sin 2x dx = -dt. Тогда
= -arcsin .
Пример 12. Вычислить интеграл .
Решение. Преобразуя знаменатель дроби, получим
x4+ 2x2+ 5 = (x2+ 1)2+ 4. Сделаем подстановку x2+ 1 = t, тогда xdx = . Отсюда
.