Затухающие колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение

В любой реальный колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называют затухающими.

В этом случае, уравнение движения для системы на рис.27.3 будет иметь вид

.

Учитывая, что а силу сопротивления, которая обычно пропорциональна скорости, можно записать как где r – коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления, уравнение движения приобретает вид

.

Перенося члены из правой части в левую, поделив уравнение на m и обозначив, получим уравнение в виде

(9)

где - частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (собственная частота системы).

Коэффициент , характеризующий скорость затухания

колебаний, называется коэффициентом затухания.

Решение уравнения (9) имеет вид

(10)

где и - постоянные, определяемые начальными условиями - частота затухающих колебаний

График функции (10) показан на рис.27.10.

В линейных системах изохронность практически соблюдается только в области достаточно малых амплитуд.

Другое замечание. Если то процесс называется апериодическим (непериодическим). Выведенная из положения равновесия система, возвращается в положение равновесия, не совершая колебаний (рис.27.11, кривая 1). Кривая 2 получается в том случае, если выведенной из положения равновесия системе сообщить достаточно сильный толчок к положе-

Это отношение называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм – логарифмическим декрементом затухания

(11)

где Т – период затухающих колебаний. Для выяснения физического смысла возьмем некоторое время за которое амплитуда уменьшается в е раз (время релаксации). Тогда т.к. (из (11) ), то . Обозначим количество колебаний за время , тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Кроме того, для характеристики колебательной системы часто употребляется такая величина

(12)

называемая добротностью колебательной системы (добротностью осциллятора). Добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых системой за то время , за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

7. Вынужденные механические колебания. Свободные колебания реальной колебательной системы являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления. Это можно сделать, воздействуя на систему (рис.27.3) внешней силой, изменяющейся по гармоническому закону где - частота вынуждающей силы. Уравнение движения запишется с учетом всех сил ( ) запишется в виде

Поделив обе части на m и перенося первые два члена из правой части в левую, получим

Обозначив, как и в п.6 , получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

(13)

Уравнение является неоднородным. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения

.

Общее решение однородного уравнения (правая часть (13) равна нулю) нам уже известно

.

Слагаемое играет заметную роль только в начальной стадии процесса (рис.27.12). С течением времени из-за экспоненциального множителя

ного уравнения (без вывода)

(14)

Функция (14) описывает установившиеся вынужденные гармонические колебания с частотой, равной частоте вынужденной силы.

Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (определенных и ) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания также зависит от частоты вынуждающей силы.

8. Механический резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Чтобы найти резонансную частоту , нужно найти максимум амплитуды функции (14), т.е. максимум функции

(15)

Или, что-то же самое, найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе (15). Продифференцировав выражение

по и приравняв к нулю, получим

.

Проведя дальнейшие простые преобразования, получим

,

а т.к. частота по своему смыслу не может быть отрицательной, то выбираем решение со знаком «+». Итак, резонансная частота

(16)

График зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты изменения вынуждающей силы в соответствии с выражением (15) представлен на рис.27.13. При →0 все кривые приходят к одному и тому же значению , . При , . Чем меньше , тем острее максимум.

стремится замедлить движение. При резонансе же фазы силы и скорости совпадают, так что сила «подталкивает» движение.

9. Понятие об автоколебаниях. Автоколебания – незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, не обладающего колебательными свойствами. Свойства колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в такт с ее колебаниями.

Форма, амплитуда и частота колебаний задаются самой системой.

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Энергия берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза, но ни пружина, ни груз не являются вынуждающей силой, формулирующей колебания(внешняя сила не обладает колебательными свойствами). Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей. Другие примеры – электрический звонок, скрипка и т.п.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какие колебания называются гармоническими? Приведите примеры гармонических колебаний.

2. Дайте определение следующих характеристик гармонического колебания: амплитуды, фазы, начальной фазы, периода, частоты, циклической частоты.

3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и напишите его решение.

4. Как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания? Почему полная энергия гармонического колебания остается постоянной?

5. Выведите дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания и напишите его решение.

6. Что такое логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы?

7. Выведите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и проанализируйте решение.

8. Что такое резонанс? Нарисуйте график зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, когда эта сила является простой гармонической функцией времени.

9. Что такое автоколебания? Приведите примеры автоколебаний.