Сследование функций с помощью первой производной

Производная находит многочисленные применения к исследованию функций и построению графиков функций.

Рассмотрим возможные приложения производной к решению вопроса о монотонности функции на некотором промежутке

Теорема 1(необходимые и достаточные условия монотонности функции). Если функция определена и непрерывна в промежутке и внутри него имеет конечную производную, то необходимым и достаточным условием неубывания (невозрастания) функции в является .

Определение 1. Точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции , если такая окрестность , что .

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема 2(необходимое условие локального экстремума). Если функция дифференцируема в точке и в ней имеет локальный экстремум, то .

В точках локального экстремума касательная параллельна оси .

Определение 2.Точки , в которых , называются стационарными точками, или точками возможного экстремума.

ПРИМЕР1. Пусть задана функция . , , – стационар- ная точка, но не является точкой локального экстремума.

Теорема 3(1-е достаточное условие локального экстремума).Пусть функция дифференцируема в некоторой –окрестности стационарной точки . Тогда, если , при , а при , то в точке функция имеет локальный максимум (локальный минимум).

Если во всей -окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке локального экстремума нет.

ПРИМЕР 2.Найти точки экстремума функции .

Решение. , .

– стационарная точка, не являющаяся точкой экстремума, так как . Точек экстремума нет.

Замечание.В точке экстремума производная может не существовать или обращаться в бесконечность (критическая точка!), но обязательно меняет знак в окрестности этой точки. В этом случае экстремум называют острым (в противоположность гладкому экстремуму, который имеет функция с непрерывной производной). Примером может служить функция , у которой в точке производная не существует, но , а .

Теорема 4 (2-е достаточное условие экстремума). Пусть функция в стационарной точке дважды непрерывно дифференцируема. Тогда функция имеет в точке максимум, если и минимум, если .

Задание 1. Построить график функции с помощью производной первого порядка.

Решение. Для функции найдем:

1) производную первого порядка: критические точки – решения системы уравнений.

Given

Замечание. Внимание, для того чтобы переменная х была определена необходимо нажать сочетание клавиш “Ctrl” + “=”.

2) определим: есть ли экстремумы среди точек -3 и -4 с помощью графика производной функции.

При переходе через точку производная меняет знак с «–» на «+», значит, – точка минимума функции. При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «-», значит, – точка максимума функции.

Функция убывает на промежутках и , возрастает на промежутке .

3) строим график функции.

Рис.1 – Выполнение задания 1