Бесконечнозначная логика как обобщение многозначной системы Поста

Исходя из системы Р_щ Поста, мы (А. Г.) строим бесконечнозначную систему G_х0. Значениями истинности являются 1 (ис­тина), 0 (ложь) и все дробные числа в интервале от 1 до 0,построенные в форме

и в форме где к — целочисленный показатель.

Это числа: 1, ½, ¼, ¾, 1/8, 7/8, 1/16, 15/16, …,

Операции: отрицание, дизъюнкция, импликация и эквиваленция в G_х0 — определены следующими равенствами:

1. Отрицание:

2. Дизъюнкция:

3. Конъюнкция:

4. Импликация:

5. Эквиваленция:

Отрицание в системе G_х0 является обобщением второго (сим­метричного) отрицания n-значной логики Поста. Посредством именно второго отрицания строятся конъюнкция, импликация и эквиваленция в системе G_х0. Система G_х0 построенная пред­ложенным способом, имеет множество тавтологий³⁴. Тавтологи­ей, например, является формула, гласящая, что отрицание р, повторенное два раза, даст первоначальное значение Тавтологиями в G_х0 будут четыре правила де Моргана.

Тавтологии в G_х0 являются тавтологиями в двузначной ло­гике, ибо бесконечнозначная система G_х0 является обобщением системы Р_я Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики.

Для проверки правильности построения G_х0предложенным нами способом на основании системы G_х0 построили систему G_3, взяв в качестве значений истинности 1, 1\2, 0. Система G₃ совпадает с системой Р₃Поста. Из системы G _х0 также вычленяется 4-значная система G ₄, значениями истинности аргументов которой являются 1, ½, ¼, 0, а значениями истинности функции: 1, ½, ¼, ¾, 0.

Отрицание определяется по формуле

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция в G₄опре­делены табл. 23.

Таблица 23

В 4-значной системе G₄содержится классическая двузначная логика [при значениях истинности 1 («истина») и 0 («ложь»)], а также система Р₃Поста (при значениях истинности 1, 1/2, 0).

Аналогично из G_х0 вычленяется система G₅ ,а также G₆,,G₇ G₈и т. д.

Об интерпретации системы G_х0

В системе G_х0 между крайними значениями истинности — 1

(«истина») и 0 («ложь») лежит бесконечное число значений истин­ности: ¹/₂ ,¹/₄, ³/₄, ¹/₈, ⁷/₈ и т. д. Процесс познания осуществляется

таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от непо­лного, неточного знания к более полному и более точному, от относительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относитель­ных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семан­тический смысл абсолютной истины, а значению 0 — значение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то промежуточные значе­ния истинности отразят процесс достижения абсолютной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относи­тельных истин, значениями которых в системе G_х0 являются ¹/₂ , ¼, ¾, ¹/₈, ⁷/₈... — и т. д. Чем ближе значение истинности перемен­ных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень приближе­ния к абсолютной истине. Так осуществляется процесс познания от незнания к знанию, от явления к сущности, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т. д. Этот бес­конечный процесс познания и отражает бесконечнозначная систе­ма G_х0, построенная нами как обобщение двузначной классичес­кой логики, характеризующей процесс познания в рамках опери­рования предельными значениями истинности суждений — исти­на и ложь. Такова семантическая интерпретация бесконечнозначной системы G_х0 раскрывающая ее роль в процессе познания истины.