Решение нелинейных уравнений и систем.
Министерство образования и науки Украины
Донецкий национальный технический Университет
Кафедра вычислительной
математики и программирования
ЗАДАНИЯ К К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ
по курсу «Информатика и системология»
для студентов специальности Экол
Утверждено на заседании каф. ВМиП
Протокол №1 от 30.08.2011
ДОНЕЦК, 2011
Построение графиков.
ЗАДАНИЕ 1. Изобразите график заданной функции.
| № | f(x) | № | f(x) | № | f(x) |
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  |
ЗАДАНИЕ 2. Изобразите линии заданные неявно в декартовых координатах.
| № | f(x) | № | f(x) | № | f(x) |
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
| y2 - 2x2 - 4 | y2 +24x2 - 4 | 2y2 - 9x2 –18 | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 | 4y2 - 5x2 – 20 |  | |||
 | 4y2 + 5x2 - 20 | 2y2 +9x2 – 18 |
Решение нелинейных уравнений и систем.
ЗАДАНИЕ 1. Найти корни полинома.
| № | уравнение | № | уравнение | № | уравнение |
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 | |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  |
ЗАДАНИЕ 2. Найти решение нелинейного уравнения.
| № | уравнение | № | уравнение | № | уравнение | № | уравнение |
 |  |  |  | ||||
 |  |  |  | ||||
 |  |  |  | ||||
 |  |  |  | ||||
 |  |  |  | ||||
 |  | |  | ||||
 |  |  |  |
ЗАДАНИЕ 3. Найти решение системы нелинейных уравнений.
| № | Система уравнений | № | Система уравнений | № | Система уравнений |
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 | 24- |  |  | ||
 |  |  | |||
 |  |  | |||
 |  |  |
РАБОТА В MATHCAD.
Простейшие вычисления. Некоторые задачи матанализа.
ЗАДАНИЕ 1. Вычислить значение Х и Y по заданным формулам.
№1  | №2  | №3  | №4  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 3.456 | 0.642 | 7.12 | 8.64 | 1.25 | 66.4 | 3.845 | 4.632 | 0.562 | 0.2575 | 0.1756 | 0.2131 | ||
№5  | №6  | №7  | №8  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 23.16 | 17.41 | 32.37 | 16.342 | 12.751 | 10.82 | 9.37 | 1.4 | 2.0435 | 1.1752 | 4.5681 | |||
№9  | №10  | №11  | №12  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 3.456 | 1.245 | 0.327 | 0.143 | 0.242 | 3.258 | 0.3575 | 0.1756 | 0.2131 | 0.7568 | 0.8345 | 0.6384 | ||
№13  | №14  | № 15  | № 16  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 5.3 | 6.2 | 12.5 | 19.5 | 12.8 | 11.3 | 14.8 | 8.52 | 1.67 | |||||
№17  | №18  | № 19  | №20  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 2.48 | 3.05 | 1.73 | 2.878 | 1.169 | 0.299 | 2.76 | 3.25 | 17.67 | 0.652 | 0.131 | 0.144 | ||
№21  | №22  | № 23  | № 24  | ||||||||||
| a | b | c | a | b | c | a | b | c | a | b | c | ||
| 5.03 | 3.28 | 2.5 | 3.7 | 7.3 | 2.786 | 3.108 | 4.2 | 3.8 | |||||
Пример 1. Элементарные вычисления
Рис. 1.
ЗАДАНИЕ 2.. Вычислить производные и интегралы.
| № | Производную a¢(x) | Неопределенный интеграл | Определенный интеграл | Производную b¢¢(x) |
| 1,11 |  |  |  |  |
| 2,12 |  |  |  |  |
| 3,13 |  |  |  |  |
| 4,14 |  |  |  |  |
| 5,15 |  |  |  |  |
| 6,16 |  |  |  |  |
| 7,17 |  |  |  |  |
| 8,18 |  |  |  |  |
| 9,19 |  |  |  | |
| 10,20 |  |  |  | 5x |
Пример 2. Вычисление производной.
Рис. 2
Пример 3. Вычисление интеграла.
Рис. 3
Решение задач линейной алгебры.
ЗАДАНИЕ. Решить систему уравнений 1) методом обратной матрицы и по правилам Крамера, сделать проверку. Систему уравнений 2) решить с помощью функции lsolve и решающего блока. Варианты заданий см. в работе №8.
Пример 4.Решить систему линейных уравнений при помощи правила Крамера[1]:
На рис. 4 приведен фрагмент рабочего документа, содержащий решение поставленной задачи.
Рис. 4.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений из примера 4 методом обратной матрицы[2]. Решение показано на рис. 5.
Рис. 5.
Пример 6. Решить систему с помощью функции lsolve и при помощи решающего блока:
x1+2x2+5x3=-9,
x1–x2+3x3=2,
3x1–6x2–x3=25.
Решение системы при помощи функции lsolve показано на рис. 6. Фрагмент рабочего документа на рис. 7 содержит пример применения решающего блока для решения системы.
Рис. 6 Рис. 7
Построение графиков на плоскости.
ЗАДАНИЕ. Построить графики функции f(x). Варианты заданий см. № 9.
Пример 7. Построить график функции y=x\(x2–9). На рис. 8 изображен график заданной функции, которая терпит разрыв в точках 3 и –3.
Рис. 8
Пример 8. Построить график функции заданной неявно: 5x2+3y2–15=0.
Приведем уравнение к каноническому виду: x2/3+y2/5=1. Разрешим уравнение относительно переменной у. Найдем область определения функции. Зададим ранжированную перемену и определим функции, описывающие верхнюю и нижнюю части эллипса. Построим график двух функций. Результат построения приведен на рис. 3.71.
Рис. 9
Решение нелинейных уравнений и систем.
ЗАДАНИЕ. Решить нелинейные уравнения и системы Варианты заданий см. в работе № 10.
Пример 9. Найти корни полинома 2x4–8x3+8x2–1=0.
Воспользуемся функцией polyroots(v), которая возвращает вектор всех корней (как вещественных, так и комплексных) полинома n–й степени, коэффициенты которого хранятся в массиве v, длиной n+1.
В нашем случае массив v следует определить как вектор столбец из пяти элементов[3](рис. 10). Решим задачу, так как показано на рис. 11. Найдем графическое решение заданного уравнения. Для этого создадим функцию F(x), определив полином как сумму произведений коэффициентов на x в соответствующей степени, и построим ее график. Точки пересечения графика с осью абсцисс и будут корнями уравнения. На рис. 12 видно, что графическое решение совпадает с аналитическим.
Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12
Пример 15.Найти корни уравнения f(x)=0.
На рис. 13 видно, что график функции f(x) трижды пересекает ось абсцисс, то есть уравнение имеет три корня. Для решения этой задачи воспользуемся функцией root(F(x), x, a, b). Она возвращает с заданной точностью значение переменной x, при котором выражение F(x) равно нулю, a и b – пределы интервала изоляции корня. Понятно, что при такой форме записи функции нет необходимости задавать начальное значение x, так как оно определено в интервале [a,b][4].
Рис.13
Пример 16.Решить систему уравнений: {x2+y2+3x–2y=4, x+2y=5}.
Данная система легко сводится к одному уравнению при помощи элементарных преобразований (рис. 14). Линейное уравнение решается относительно одного из двух неизвестных, например, можно выразить х через у, выполнив команду Symbolic\Variable\Solve при выделенном х. Полученное выражение необходимо подставить в квадратное уравнение и упростить(Symbolic\Variable\Collect).
Решение квадратного уравнения с одним неизвестным, полученного в результате преобразований заданной системы, приведено на рис. 15. Графическое решение уравнение показало, что имеется два действительных корня. Поэтому решающий блок используется дважды с соответствующими начальными значениями.
Рис. 14.
Рис. 15
На рис.16 показано, как решить систему с помощью решающего блока.
Рис. 16 
[1] Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель ∆=detA матрицы системы из n уравнений с n неизвестными A∙x=b отличен от нуля, то система имеет единственное решение x1, x2,..., xn, определяемое по формулам Крамера xi=∆i/∆, где ∆i – определитель матрицы, полученной из матрицы системы А заменой i–го столбца столбцом свободных членов b.
[2] Метод обратной матрицы: для системы из n линейных уравнений с n неизвестными A∙x=b, при условии, что определитель матрицы А не равен нулю, единственное решение можно представить в виде x=A-1∙b.
[3] Обратите внимание, что в уравнении отсутствует переменная x в первой степени. Это означает, что соответствующий коэффициент равен нулю.
[4] Обратите внимание на последнее обращение к функции root на рис.3.78. MathCAD выдал сообщение об ошибке: «Значения на обоих концах интервала должны иметь противоположные знаки». Произошло это потому, что интервал изоляции задан неверно. На графике видно, что на концах этого интервала функция знак не меняет.