Численное решение систем нелинейных уравнений

Постановка задачи

Дана система линейных уравнений

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru (1)

Введём обозначения: вектор Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - вектор аргументов:

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Аналогично вектор функций

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Тогда систему 1 можно переписать в виде:

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Система линейных уравнений в общем виде неразрешима. Поэтому мы будем рассматривать только численные методы решения системы линейных уравнений.

Метод Ньютона

Для уравнения имеет вид:

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

По анологии метод Ньютона для системы линейных уравнений

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

где Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - вектор аргументов на Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -ом шаге итерации

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - значения вектора функций (системы уравнений ) при Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - обратная матрица Якоби

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - матрица, Якоби-матрица, состоящая из частных производных

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Вполне естественно очевидно, что формулу Ньютона можно применять в том случае, когда Якоби-матрица неособенная, невырождённая, то есть Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru .

Пример:

Дано: Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Матрица Якоби

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Превоначальная оцнка

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

1) Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

2) Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

3) Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru = Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru = Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

и так далее

Результаты итераций лучше всего сводить в таблицу

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru
3,4 0,097 2,2 0,076
3,497   2,276  
       

Прекращаем вычисления, когда Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - заданная точность.

Как и в любых численных методах встают следующие задачи: о сходимости метода и о выборе начального значения.

Сходимость метода Ньютона

Вопросами сходимости метода Ньютона занимались такие учёные, как Виллус, Стёпин, Островский, Канторович и другие. Мы же будем рассматривать сходимость, единственность корня и выбор начального условия по Канторовичу. При рассмотрении этих характеристик метода ипользуются понятия нормы. Поэтому прежде дадим определения :

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -нормой - называется максимальная сумма модулей элементов по строкам.

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -нормой - называется максимальная сумма модулей элементов по столбцам.

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -нормой - нызывается квадратный корень из суммы квадратов модулей элементов матрицы

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Пример:

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Для оценки матриц, используемых в методе Ньютона для нелинейных систем, будем использовать Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -нормы, а именно

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона

Пусть дана нелинейная система уравнений

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru ,

где Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru . Положим, что Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - есть точка, лежащая в Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru вместе со своей замкнутой Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru -окрестностью. При этом выполняются следующие условия:

1) матрица Якоби при Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru имеет обратную функцию

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

2) Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

3) Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

4) постоянные Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru удовлетворяют неравенству

Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru сходится к решению Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru - есть решение такое, что Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru

Для проверки условия Численное решение систем нелинейных уравнений - student2.ru даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.

Наши рекомендации